inhomogene DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mi 21.06.2006 | | Autor: | RalU |
meine bisherige Lsg. lautet:
hom. Ansatz:
charakt. Gleichung:
y= [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 2\lambda [/mm] = 0
=> [mm] \lambda1 [/mm] = 2
sowie [mm] \lambda2 [/mm] = 0
=> [mm] e^{\lambda1x} [/mm] = [mm] e^{2x}
[/mm]
sowie [mm] e^{\lambda2x} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm] = 1
=> y_hom = C1 * [mm] e^{2x} [/mm] + 1
Wie komme ich nun zur inhomogenen Lösung bzw. zur Gesamtlösung für die DGL?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für Ihre Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Mi 21.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Bei linearen DGL mit konstanten Koeffizienten und rechter Seite [mm] $x^qe^{\lambda x}$ [/mm] hilft der Ansatz [mm] $y(x)=Cx^{q+m}e^{\lambda x}$ [/mm] für eine partikuläre Lösung. Dabei kennzeichnet $m$ die Vielfachheit, mit der dieses [mm] $\lambda$ [/mm] Nullstelle des charakteristischen Polynoms der zugehörigen homogenen DGL ist.
Im vorliegenden Fall ist die rechte Seite [mm] $4=4x^0e^{0x}$, [/mm] also $q=0$ und [mm] $\lambda=0$. [/mm] Es folgt $m=1$, denn die charakteristische Gleichung der homogenen DGL ist hier [mm] $\lambda^2-2\lambda=0$, [/mm] also mit einfacher Nullstelle [mm] $\lambda=0$.
[/mm]
Also versuch's mal mit dem Ansatz [mm] $y_p(x)=Cx$.
[/mm]
P.S.: Übrigens, die allgemeine homogene Lösung ist nicht [mm] $y_h(x)=C_1e^{2x}+1$, [/mm] sondern [mm] $y_h(x)=C_1e^{2x}+C_2$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mi 21.06.2006 | | Autor: | RalU |
Ok, dass die inhom. LSG y = C1 * [mm] e^{2x} [/mm] + C2 lautet, hab ich eingesehen.
Wenn ich jetzt also nach Ihrem Vorschlag vorgehe, erhalte ich für den inh. Ansatz:
yp = Cx;
yp' = C;
yp" = 0;
jetzt einsetzen in DGL: (y" - 2y' = 4):
=> 0 - 2C = 4
=> C= -2
=> partik. LSG: yp= -2
=> Gesamtlösung: y = yh + yp
y = [mm] C1e^{2x} [/mm] + C2 - 2
Ist das soweit richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Mi 21.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Nein, du hast das $x$ im Ansatz [mm] $y_p=Cx$ [/mm] vergessen! Die allgemeine Lösung lautet also
$$y(x) = [mm] C_1e^{2x}+C_2-2x$$
[/mm]
P.S.: Wir sind hier alle beim "Du", gleich welchen Alters oder akademischen Titels. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Do 22.06.2006 | | Autor: | RalU |
Also ist [mm] y(x)=C1e^{2x}+C2x [/mm] die Gesamtlösung und ich bin fertig mit der Aufgabe?
Aber wie komme ich denn darauf?. Du hast doch erst vorgeschlagen, den Ansazt yp=Cx zu wählen.
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Hallo RalU!
Bei Deiner Lösung hast Du noch ein Minuszeichen unterschlagen:
[mm] $\blue{y \ = \ C_1*e^{2x}+C_2} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \blue{2x}$
[/mm]
Die Gesamtlösung eine inhomogenen Differentialgleichung setzt sich zusammen als Summe von der homogenen Lösung und der partikulären Lösung:
[mm] $y_{ges.} [/mm] \ = \ [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p$
[/mm]
Der genannte Ansatz [mm] $y_P [/mm] \ = \ C*x$ war also lediglich für die partikuläre Lösung [mm] $y_p$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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