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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Differentialgleichung:
[mm] y'+\bruch{2x}{x^2+1}*y=\bruch{3x^2}{x^2+1} [/mm] |
Hey,
könnt ihr mal drüberschauen ob meine Lösung so passt?
Als erstes mache ich den homogenen Teil der Lösung:
[mm] \integral {\bruch{1}{y} dy} [/mm] =- [mm] \integral{\bruch{2x}{x^2+1} dx}
[/mm]
[mm] y=e^{ln(\bruch{1}{x^2+1})-c}
[/mm]
Ist es egal ob ich +c oder -c schreibe? Eigentlich ja schon oder? Hier habe ich mal konsequent mit -c gerechnet und erhalte dann als Lösung für den homogenen Teil:
[mm] y_h=\bruch{1}{A*(x^2+1)}, [/mm] wobei [mm] A=\bruch{1}{e^c}
[/mm]
Hätte ich +c gerechnet, wäre das A im Zähler...
Den inhomogenen Teil bekomme ich mittels Variation der Konstanten, d.h.
[mm] y_{inh}=\bruch{1}{A(x)*(x^2+1)}
[/mm]
Nun halt das übliche Prozedere und ich erhalte:
[mm] y_{inh}=\bruch{1}{-x^3*(x^2+1)}
[/mm]
Vielen Dank fürs Anschaun!
Lg
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Hallo BDO,
> Lösen Sie folgende Differentialgleichung:
>
> [mm]y'+\bruch{2x}{x^2+1}*y=\bruch{3x^2}{x^2+1}[/mm]
> Hey,
>
> könnt ihr mal drüberschauen ob meine Lösung so passt?
>
> Als erstes mache ich den homogenen Teil der Lösung:
>
> [mm]\integral {\bruch{1}{y} dy}[/mm] =- [mm]\integral{\bruch{2x}{x^2+1} dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]y=e^{ln(\bruch{1}{x^2+1})-c}[/mm]
> Ist es egal ob ich +c oder -c schreibe?
Jo
> Eigentlich ja
> schon oder? Hier habe ich mal konsequent mit -c gerechnet
> und erhalte dann als Lösung für den homogenen Teil:
>
> [mm]y_h=\bruch{1}{A*(x^2+1)},[/mm] wobei [mm]A=\bruch{1}{e^c}[/mm]
Hmm, warum die Konstante nicht in den Zähler packen?
Das macht's doch sicher einfacher ...
[mm] $y_h=\frac{C}{x^2+1}$
[/mm]
>
> Hätte ich +c gerechnet, wäre das A im Zähler...
>
>
> Den inhomogenen Teil bekomme ich mittels Variation der
> Konstanten, d.h.
>
> [mm]y_{inh}=\bruch{1}{A(x)*(x^2+1)}[/mm]
> Nun halt das übliche Prozedere und ich erhalte:
> [mm]y_{inh}=\bruch{1}{-x^3*(x^2+1)}[/mm]
Das passt nicht. Leite mal ab und setze in die Dgl. ein.
Mache mal besser VdK mit dem $C$ im Zähler, also [mm] $y_h(x)=\frac{C(x)}{x^2+1}$
[/mm]
Dann kommst du durch Vergleich mit der Ausgangsdgl. auf die "nette" Bedingung [mm] $C'(x)=3x^2$ [/mm] ...
>
> Vielen Dank fürs Anschaun!
> Lg
Gruß
schachuzipus
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okkk,
aber rein theoretisch wäre es doch auch möglich so vorzugehen, d.h. die Konstante in den Nenner zu schreiben... Ob das jetz sinnvoll ist, steht natürlich auf einem anderen Blatt.
Kann jetz keinen Fehler in meiner Rechnung finden... Vllt ist es auch einfach nur schon zu spät ^^
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Hallo nochmal,
> okkk,
> aber rein theoretisch wäre es doch auch möglich so
> vorzugehen, d.h. die Konstante in den Nenner zu
> schreiben... Ob das jetz sinnvoll ist, steht natürlich auf
> einem anderen Blatt.
Ich habe das mal gerechnet, aber das wird unschön.
Man kann das [mm]A'[/mm] nicht schön isolieren ...
Ich komme auf folgende Bedingung: [mm]-\frac{A'(x)}{A^2(x)(x^2+1)}=\frac{3x^2}{x^2+1}[/mm], also [mm]\frac{A'(x)}{A^2(x)}=-3x^2[/mm]
Nun kann man wohl beiderseits integrieren und kommt mit einer Substitution [mm]u:=A^2(x)[/mm] auf [mm]A(x)=\frac{1}{x^3}[/mm]
Aber ohne Gewähr - guck du mal, ob das passt: [mm]y=y_h+y_p=...[/mm] und dann einsetzen in die Dgl.
Das kommt der "einfachen " Lösung zumindest ziemlich nahe 
>
> Kann jetz keinen Fehler in meiner Rechnung finden...
Die solltest du uns mal zeigen ...
> Vllt ist es auch einfach nur schon zu spät ^^
>
Wie gesagt, [mm]C[/mm] im Zähler und es geht im Handumdrehen ohne die kleinste Schwierigkeit ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 Mi 06.07.2011 | | Autor: | BunDemOut |
ah habe das [mm] A(x)^2 [/mm] im Nenner vergessen...
Vielen Dank für deine Hilfe (wiedermal) :)
lg
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