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Beweise, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
induktionsanfang: n=0
[mm] \summe_{k=0}^{0}\bruch{(-1)^0}{0+1} \vektor{0 \\ 0}=1=\bruch{1}{0+1}=1
[/mm]
Induktionsschluss: [mm] {n\mapsto n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1 \\ k}=\bruch{1}{n+2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1 \\ k}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1 \\ k}+\bruch{(-1)^{k+1}}{k+2}\vektor{n+1 \\ n+1}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1}\vektor{n+1 \\ k}+\bruch{(-1)^{k+1}}{k+2}*1
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1}\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1}+\bruch{(-1)^{k+1}}{k+2}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n \\ k}+\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1}\vektor{n \\ k-1}+\bruch{(-1)^{k+1}}{k+2}
[/mm]
nach Induktionsvoraussetzung habe ich dann
[mm] =\bruch{1}{n+1}+\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1}\vektor{n \\ k-1}+\bruch{(-1)^{k+1}}{k+2}
[/mm]
So ich hoffe, ich habe jetzt auch alles so geschrieben, wie ich es haben wollte.
Wie mache ich denn bei der Aufgabe weiter bzw ist die bis dahin überhaupt richtig?
grüße Tanzmaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 30.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tanzmaus!
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}\bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1 \\ k}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1 \\ k}+\bruch{(-1)^{k+1}}{k+2}\vektor{n+1 \\ n+1}[/mm]
Hier muss es am Ende $... + \ [mm] \bruch{(-1)^{\red{n}+1}}{\red{n}+2}*\vektor{n+1 \\ n+1}$ [/mm] heißen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Di 30.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tanzmaus!
> Beweise, dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n \\ k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
Muss der Beweis mittels Induktion geführt werden?
Ich würde diese Identität anwenden:
[mm] k\vektor{n \\ k} = n \vektor{n-1 \\ k-1} \implies (k+1) \vektor{n+1 \\ k+1} = (n+1) \vektor{n \\k} \implies \bruch{1}{k+1} \vektor{n \\ k} = \bruch{1}{n+1} \vektor {n+1 \\ k+1}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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