indefinite symm. bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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endlich hab ich den matheraum entdeckt! endlich wissende leute, die mir helfen können. hab mal fragen zu folgendendem problem/aufgabe:
Geben Sie ein Beispiel für einen endlich-dimensionalen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V und eine indefinite symmetrische Bilinearform [mm] \beta [/mm] auf V an, mit der Eigenschaft, dass für die Matrix A = [mm] (a_{ij}) \in \IR^{n \times n} [/mm] von [mm] \beta [/mm] bzgl. einer Basis von V gilt:
[mm] \vmat{ a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} } \ge [/mm] 0 für k = 1,...,n.
Wäre schön, könntet ihr mir helfen!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Versuche es mal mit der Bilinearform
$b [mm] \left( \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}, \pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_2} \right) [/mm] = [mm] \pmat{x_1 & x_2 & x_2} \cdot \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1} \cdot \pmat{y_1 \\ y_1 \\y_3}$
[/mm]
im [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Dann sind alle Hauptminoren der Gramschen Matrix nichtnegativ, aber es gilt:
$b [mm] \left( \pmat{1 \\0 \\ 0}, \pmat{1\\ 0\\ 0} \right) [/mm] = 1 >0$
und
$b [mm] \left( \pmat{0 \\0 \\ 1}, \pmat{0\\ 0\\ 1} \right) [/mm] = -1 <0$,
d.h. $b$ ist indefinit.
Viele Grüße
Julius
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