(in-)homogene Gleichungssystem < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Mi 05.01.2011 | | Autor: | n1c3 |
| Aufgabe | Man betrachte das inhomogene Gleichungssystem über den Körper [mm] \IZ_{2}:
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] = 1
[mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) \in \IZ_{2}
[/mm]
(i) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des entsprechenden homogenen Gleichungssystems.
(ii) Bestimmen Sie eine Lösung dieses inhomogenen Gleichungssystems und geben Sie die
Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems an. |
Hallo Forum
Dass ist meine erste Frage die ich hier stelle, also ich bitte um Nachsicht, falls iwas nicht den Regeln entsprechen sollte oder iwas verkehrt ist. (:
Bin z.z. im ersten Semester und kämpfe mich gerade durch Mathematik für Informatiker. Wenn es möglich ist seid bitte ausführlich bei euern Antworten damit ich es nachvollziehen kann.. Ich 'tu' mich etwas schwer mit Mathe.. Vielen Dank dafür schon einmal!
So zu meiner eigentlichen Frage:
Ich habe mir aus dem Gleichungssystem eine erweiterte Matrix gemacht damit ich die Lösungsmenge einmal für das homogene und inhomogene lösgen kann.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 }
[/mm]
Nach umformen in für die Stufenform hab ich folgendes raus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 0 }
[/mm]
Meine Frage ist jetzt, wie lese ich nun die Lösungsmenge für beide i) und ii) ab? Hier stehe ich auf dem Schlauch.
Gruß
// Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo n1c3 nd herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man betrachte das inhomogene Gleichungssystem über den
> Körper [mm]\IZ_{2}:[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm] = 0
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm] = 1
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm] = 1
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm] = 1
>
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) \in \IZ_{2}[/mm]
>
> (i) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des entsprechenden
> homogenen Gleichungssystems.
>
> (ii) Bestimmen Sie eine Lösung dieses inhomogenen
> Gleichungssystems und geben Sie die
> Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems an.
> Hallo Forum
>
> Dass ist meine erste Frage die ich hier stelle, also ich
> bitte um Nachsicht, falls iwas nicht den Regeln entsprechen
> sollte oder iwas verkehrt ist. (:
>
> Bin z.z. im ersten Semester und kämpfe mich gerade durch
> Mathematik für Informatiker. Wenn es möglich ist seid
> bitte ausführlich bei euern Antworten damit ich es
> nachvollziehen kann.. Ich 'tu' mich etwas schwer mit
> Mathe.. Vielen Dank dafür schon einmal!
>
> So zu meiner eigentlichen Frage:
>
> Ich habe mir aus dem Gleichungssystem eine erweiterte
> Matrix gemacht damit ich die Lösungsmenge einmal für das
> homogene und inhomogene lösgen kann.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 }[/mm]
>
> Nach umformen in für die Stufenform hab ich folgendes
> raus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sieht gut aus!
>
> Meine Frage ist jetzt, wie lese ich nun die Lösungsmenge
> für beide i) und ii) ab? Hier stehe ich auf dem Schlauch.
Nun, übersetze es mal zurück in ein LGS:
Homogener Fall:
(1) [mm]x_1=0[/mm]
(2) [mm]x_3+x_4=0[/mm]
(3) [mm]x_5=0[/mm]
(4) [mm]0=0[/mm]
Es sind also [mm]x_1, x_5[/mm] schon festgelegt. Bleiben 2 frei wählbare Parameter.
Das genze LGS ist von [mm]x_2[/mm] vollkommen unabh., setze daher [mm]x_2:=s[/mm] mit [mm]s\in\IZ_2[/mm]
Weiter ist in (2) etwa [mm]x_4[/mm] frei wählbar, sagen wir [mm]x_4:=t[/mm] mit [mm]t\in\IZ_2[/mm]
Also [mm]x_3=-t=t[/mm] (in [mm]\IZ_2[/mm])
Also sieht ein Lösungsvektor [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5}[/mm] so aus:
[mm]\vektor{0\\
s\\
t\\
t\\
0}[/mm] mit [mm]s,t\in\IZ_2[/mm]
[mm]=s\cdot{}\vektor{0\\
1\\
0\\
0\\
0}+t\cdot{}\vektor{0\\
0\\
1\\
1\\
0}[/mm]
Also ist der Lösungsraum des homogenen Systems ein 2-dim. VR über [mm]\IZ_2[/mm], aufgespannt von [mm]\vektor{0\\
1\\
0\\
0\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\
0\\
1\\
1\\
0}[/mm]
Versuche dich nun mal am inhomogenen System ...
>
> Gruß
>
> // Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 05.01.2011 | | Autor: | n1c3 |
Aaaah jetzt habs ichs Vielen Dank.
Also ist die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystem:
[mm] \IL [/mm] = {1,s,t+1,t,0 | s,t [mm] \in \IZ_{2} [/mm] } , da
(1) [mm] x_{1} [/mm] = 1
(2) [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = 1 => [mm] x_{3} [/mm] = 1 + [mm] x_{4} [/mm] für [mm] x_{4} [/mm] wähl ich [mm] x_{4} [/mm] = t
(3) [mm] x_{5} [/mm] = 0
und [mm] x_{2} [/mm] wähl ich [mm] x_{2}=s [/mm] ist vollkommen unabhängig, da er im Gleichungssystem immer 0 null ist.
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Hallo nochmal,
> Aaaah jetzt habs ichs Vielen Dank.
>
> Also ist die Lösungsmenge des inhomogenen
> Gleichungssystem:
>
> [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {\red{(}1,s,t+1,t,0\red{)} | s,t [mm]\in \IZ_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} , da
>
> (1) [mm]x_{1}[/mm] = 1
> (2) [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] = 1 => [mm]x_{3}[/mm] = 1 + [mm]x_{4}[/mm] für
> [mm]x_{4}[/mm] wähl ich [mm]x_{4}[/mm] = t
> (3) [mm]x_{5}[/mm] = 0
>
> und [mm]x_{2}[/mm] wähl ich [mm]x_{2}=s[/mm] ist vollkommen unabhängig, da
> er im Gleichungssystem immer 0 null ist.
Wer ist "er"?
[mm]x_2[/mm] tritt in der Zeilenstufenform nicht mehr auf ...
Gib doch mal die Lösungsmenge als affinen Vektorraum an, damit man den Unterschied zum VR der homog. Lösung gut erkennen kann ...
Außerdem ist das ne gute Übung 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 05.01.2011 | | Autor: | n1c3 |
trau mich jetzt schon fast garnicht zu fragen.. aber was meinst du mit affinen Vektorraum?.. ist es das was du schon vorher gemacht hattest oder wie komme ich zu solch einer darstellung?.. Sorry wenn es dir jetzt banal erscheint dass zu erklären
also ich mein dass mit der Lösungsmenge des LGS habe ich gut verstanden, aber das mit der affinen Abbildung sagt mir nicht viel!
Vielen Dank für deine Mühe
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Hallo nochmal,
> trau mich jetzt schon fast garnicht zu fragen.. aber was
> meinst du mit affinen Vektorraum?..
Das ist ein "verschobener" Vektorraum, der nicht am Nullvektor "aufgehängt" ist, sondern an einem bel. anderen "Verschiebungsvektor"
> ist es das was du schon
> vorher gemacht hattest oder wie komme ich zu solch einer
> darstellung?.. Sorry wenn es dir jetzt banal erscheint dass
> zu erklären
Ok, die Lösungsvektoren des inhomogenen LGS sind von der Gestalt [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5}=\vektor{1\\
s\\
1+t\\
t\\
0}[/mm] mit [mm]s,t\in\IZ_2[/mm]
Das schreibe wieder um wie im homogenen Fall:
[mm]=\vektor{1\\
0\\
1\\
0\\
0}+s\cdot{}\vektor{0\\
1\\
0\\
0\\
0}+t\cdot{}\vektor{0\\
0\\
1\\
1\\
0}=\blue{\vektor{1\\
0\\
1\\
0\\
0}}+\left\langle\vektor{0\\
1\\
0\\
0\\
0},\vektor{0\\
0\\
1\\
1\\
0}\right\rangle[/mm]
Im Vergleich zum homogenen Fall, wo der blaue Vektor der Nullvektor ist und die Lösungsmenge einen VR der Dimension 2 bildet, ist hier der Vektorraum (Dim2) verschoben, sozusagen nicht am Nullpunkt, sondern an dem blauen Vektor "aufgehängt"
Das ist dann kein VR im eigentlichen Sinne mehr, sondern ein affiner VR
Nebenbei:
Die allgemeine Lösung eines inhomogenen LGS setzt sich zusammen als Summe aus einer speziellen (partikulären) Lösung des inhomogenen Systems (der blaue Vektor) und der Lösungsgesamtheit des zugeh. homogenen Systems (der 2-dim VR, aufgespannt von den beiden Vektoren in den spitzen Klammern)
[mm]\IL_{\text{inhom}}=\vec{x}_{\text{part}}+\IL_{\text{hom}}[/mm]
>
>
> also ich mein dass mit der Lösungsmenge des LGS habe ich
> gut verstanden, aber das mit der affinen Abbildung sagt mir
> nicht viel
Das ist auch nur ein Begriff. Wenn du das nicht hattest, überlies die Antwort
>
> Vielen Dank für deine Mühe
Gern geschehen!
Gruß und schönen Abend
schachuzipus
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