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| Aufgabe | Bestimmen sie Lösungskurven der folgenden impliziten DGL in geeigneter Parametisierung:
a) y= [mm] (y')^{2}+ \bruch{1}{y'}
[/mm]
b) y=y'ln(y) |
Hallo zusammen,
ich habe mich mit diesen DGL nun länger beschäftigt. Ich glaube auch bis zu einem bestimmten Punkt sinnvoll vorgegangen zu sein. Jetzt würde es mich freuen, wenn jemand meine Weg mal Korrekturlesen und mir erklären könnte, wie ich von den, durch Tripel beschirebenen, Richtungsfeldern zu den Lösungskurven komme.
zu b)
Vor. [mm] \Rightarrow [/mm] y(p)=pln(p) [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] y'(p)=ln(p)+1 (1)
y'(p)=px'(p) [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] x'(p)= [mm] \bruch{ln(p)}{p}+ \bruch{1}{p} [/mm] nach (1)
somit: x(p)= [mm] \integral_{ }^{ }{ \bruch{ln(p)}{p} + \bruch{1}{p} dp}+c \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] x(p)=ln(p)+ [mm] \bruch{ (ln(p))^{2}}{2}+c
[/mm]
In diesem Fall besteht das Richtungsfeld also aus allen Tripeln (x(p),y(p),p)=(ln(p)+ [mm] \bruch{ (ln(p))^{2}}{2}+c, [/mm] pln(p), p)
Ist bis hierhin alles richtig? Wie komm ich jetzt auf die Lösungskurve?
zu a)
Vor. [mm] \Rightarrow [/mm] y(p)= [mm] p^{2}x(p)+ \bruch{1}{p} \Rightarrow [/mm] y'(p)=2px(p)+ [mm] p^{2}x'(p)- \bruch{1}{ p^{2}} [/mm] (1)
y'(p)=px'(p) [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow \bruch{1}{ p^{4}- p^{3}}=x'(p)+ \bruch{2}{p-1}x(p) [/mm] nach (1)
Es handelt sich nun also um eine inhomogene DGL mit:
homogener Lsg.: [mm] x_{h}(p)= [/mm] ... = [mm] \bruch{c}{ (p-1)^{2}} [/mm] c [mm] \in \IR
[/mm]
partikulärer Lsg.: [mm] x_{p}(p)= \bruch{c(p)}{ (p-1)^{2}}
[/mm]
Errechnet man nun x'(p) und setzt dieses in die inhomogene DGL, um dann nach c'(p) aufzulösen und dieses dann zu integrieren bekommt man:
c(p)= [mm] \bruch{-2p+1}{2 p^{2}}+d [/mm] d [mm] \in \IR
[/mm]
somit: [mm] x_{p}(p)= \bruch{ \bruch{-2p+1}{2 p^{2}}+d}{ (p-1)^{2}}
[/mm]
also: x(p)= [mm] x_{h}(p) [/mm] + [mm] x_{p}(p) [/mm] = [mm] \bruch{c}{ (p-1)^{2}}+ \bruch{ \bruch{-2p+1}{2 p^{2}}+d}{ (p-1)^{2}}= \bruch{1}{ (p-1)^{2}}(e- \bruch{2p-1}{2 p^{2}}) [/mm] e [mm] \in \IR
[/mm]
setzt man dies nun in die ursprünglich leicht umgeformte DGL ein bekommt man y(p)= [mm] \bruch{2e p^{2}-2p+1}{2 (p-1)^{2}}+ \bruch{1}{p}
[/mm]
In diesem Fall besteht das Richtungsfeld also aus den Tripeln
(x(p), y(p), p)=( [mm] \bruch{1}{ (p-1)^{2}}(e- \bruch{2p-1}{2 p^{2}}), \bruch{2e p^{2}-2p+1}{2 (p-1)^{2}}+ \bruch{1}{p}
[/mm]
, p)
Ist bis hierhin alles richtig? Wie komm ich jetzt auf die Lösungskurve?
Wär echt hammer, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Danke schon mal. Grüße, Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 27.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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