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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 So 16.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> [mm]||\hat{f}||_{2}^2=\integral{\hat{f}\overline{\hat{f}}dx}[/mm]
> und was ist überhaupt [mm]\overline{\hat{f}}dx?[/mm]
Also:
Allgemein hat man für eine [mm] $\IC$-wertige [/mm] Funktion $f$:
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_2 [/mm] = [mm] \left( \integral{f(x)\, \overline{f(x)}\, dx} \right)^{\frac{1}{2}}$.
[/mm]
Es wird also das Produkt von $f$ mit dessen komplex Konjugierten, [mm] $\bar{f}$, [/mm] integriert.
Daher haben wir hier speziell
[mm] $\Vert \hat{f} \Vert_2 [/mm] = [mm] \left( \integral{\hat{f}(x)\, \overline{\hat{f}(x)}\, dx} \right)^{\frac{1}{2}}$.
[/mm]
Das steht dort oben, etwas verkürzt und in quadrierter Form.
Es gilt:
[mm] $\overline{\hat{f}(x)} [/mm] = [mm] \overline{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int e^{-ix\xi} f(\xi)\, d\xi} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \overline{ e^{-ix\xi} f(\xi)}\, d\xi [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{ix\xi} \overline{f(\xi)}\, d\xi$.
[/mm]
Wir hatten kurz
> > davor nur definiert: [mm]\overline{\cal{F}}: f\to \overline{\cal{F}}f;\; \overline{\cal{F}}f(x)=\hat{f}(-x)[/mm]
> - hat das jetzt etwas damit zu tun?
> Jedenfalls finde ich dann nur noch:
> [mm]||f||_2:=\wurzel{||f_{A}^2||_1},[/mm] und was war noch gleich
> [mm]||.||_1?[/mm] ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Es gilt:
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_1 [/mm] = [mm] \int |f(x)|\, [/mm] dx$.
Damit gilt:
[mm] $\wurzel{\Vert f^2 \Vert_1} [/mm] = [mm] \wurzel{\int |f(x)|^2\, dx} [/mm] = [mm] \Vert [/mm] f [mm] \Vert_2$.
[/mm]
> Und dann kommt mir gerade noch eine Frage:
> Warum ist denn
> [mm]\integral{f\hat{\overline{\hat{f}}}dx}=\integral{f\overline{f}dx}?[/mm]
> Das soll wohl nach dem Umkehrsatz gelten, aber der sagt
> doch: [mm]f(x)=\hat{\hat{f}}(-x),[/mm] also müsste da oben doch
> irgendwo auch ein -x vorkommen, oder?
Nun, das liegt daran, dass
[mm] $\hat{\overline{\hat{f}}}(x) [/mm] = [mm] \overline{\hat{\hat{f}}}(-x)$
[/mm]
ist.
Beweis der letzten Behauptung:
[mm] $\hat{f}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{-ix\xi} f(\xi)\, d\xi$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \quad \overline{\hat{f}}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{ix\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \quad \hat{\overline{\hat{f}}}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi} \int \int e^{-ixy} e^{iy\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi\, [/mm] dy$
und
[mm] $\hat{\hat{f}}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi} \int e^{-ixy}\int e^{-iy\xi} f(\xi)\, d\xi\, [/mm] dy$
[mm] $\Rightarrow \quad \overline{\hat{\hat{f}}}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi} \int \int e^{ixy} e^{iy\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi\, [/mm] dy$
[mm] $\Rightarrow \quad \overline{\hat{\hat{f}}}(-x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi} \int\int e^{-ixy} e^{iy\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi\, [/mm] dy$
Damit folgt nun:
[mm]\integral{f(x)\hat{\overline{\hat{f}}}(x)dx}[/mm]
[mm]= \integral{f(x)\overline{\hat{\hat{f}}}(-x)dx}[/mm]
[mm]= \integral{f(x)\overline{f}(x)dx}[/mm]
(nach dem von dir beschriebenen Umkehrsatz),
was zu zeigen war. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 So 16.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke auch für diese ausführliche Antwort!
Das meiste ist auch hier klar, aber an einer Stelle hapert es irgendwie noch, dabei glaube ich, dass es eigentlich nicht schwierig ist...
> Beweis der letzten Behauptung:
>
> [mm]\hat{f}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{-ix\xi} f(\xi)\, d\xi[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \quad \overline{\hat{f}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{ix\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \quad \hat{\overline{\hat{f}}}(x) = \frac{1}{2 \pi} \int \int e^{-ixy} e^{iy\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi\, dy[/mm]
Diese letzte Umformung bekomme ich irgendwie nicht hin. Ich will doch jetzt [mm] \quad \overline{\hat{f}}(x) [/mm] noch einmal fourier-transformieren. Dann wird natürlich aus [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\; \bruch{1}{2\pi}, [/mm] das ist noch klar. Aber dann habe ich doch quasi als "Argument" für die Fouriertransformation [mm] e^{ix\xi} \overline{f}(\xi), [/mm] also das ist meine Funktion, die doch nach der Transformation immer noch da steht. Und nun kommt noch der Teil mit der e-Funktion dazu und ich komme irgendwie durcheinander mit dem y, was da jetzt auftaucht. Es ist mir glaube ich klar, dass es auftauchen muss, aber ich würde da so etwas schreiben wie:
[mm] \integral\integral{e^{-ix\xi}\overline{f}(\xi)e^{-ix\xi y}} [/mm] oder so ähnlich.
Ich weiß nicht, kann man verstehen, was ich meine?
Viele Grüße
Christiane
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > Beweis der letzten Behauptung:
> >
> > [mm]\hat{f}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{-ix\xi} f(\xi)\, d\xi[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\Rightarrow \quad \overline{\hat{f}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{ix\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\Rightarrow \quad \hat{\overline{\hat{f}}}(x) = \frac{1}{2 \pi} \int \int e^{-ixy} e^{iy\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi\, dy[/mm]
>
>
> Diese letzte Umformung bekomme ich irgendwie nicht hin. Ich
> will doch jetzt [mm]\quad \overline{\hat{f}}(x)[/mm] noch einmal
> fourier-transformieren. Dann wird natürlich aus
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\; \bruch{1}{2\pi},[/mm] das ist noch
> klar. Aber dann habe ich doch quasi als "Argument" für die
> Fouriertransformation [mm]e^{ix\xi} \overline{f}(\xi),[/mm] also das
> ist meine Funktion, die doch nach der Transformation immer
> noch da steht. Und nun kommt noch der Teil mit der
> e-Funktion dazu und ich komme irgendwie durcheinander mit
> dem y, was da jetzt auftaucht. Es ist mir glaube ich klar,
> dass es auftauchen muss, aber ich würde da so etwas
> schreiben wie:
> [mm]\integral\integral{e^{-ix\xi}\overline{f}(\xi)e^{-ix\xi y}}[/mm]
> oder so ähnlich.
> Ich weiß nicht, kann man verstehen, was ich meine?
Nicht so ganz. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Ich will es noch einmal versuchen.
Nach Definition gilt ja:
[mm]\hat{\overline{\hat{f}}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{-ixy} \red{\overline{\hat{f}}(y)} dy[/mm]
Und nun setzt hier hierein einfach
[mm]\red{\overline{\hat{f}}(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{iy\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi}[/mm]
ein. Dann erhältst du:
[mm]\hat{\overline{\hat{f}}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{-ixy} \red{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{iy\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi}dy = \frac{1}{2 \pi} \int \int e^{-ixy} e^{iy\xi} \overline{f}(\xi)\, d\xi\, dy[/mm].
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
