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ilse: ableitung arctan
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Sa 16.04.2005
Autor: ilse

ich soll beweisen, dass die nte ableitung von y = arctanx nach folgender Formel berechenbar ist:

[mm] y^{(n)} [/mm] = (n-1)!sin[n(y+ [mm] \bruch{\pi}{2})] (cos(y))^{n} [/mm]

ich denke dass kann man gut durch induktion machen, nun häng ich aber an folgender gleichung und komm einfach nicht weiter
[mm] (y^{(n)})' [/mm] = n! [mm] \bruch{(cos(y))^{n}}{x^{2}+1}[cos[n(y+\bruch{\pi}{2})] [/mm] - [mm] sin[n(y+\bruch{\pi}{2})] [/mm] x]

vielleicht hat ja jemand von euch eine idee, wäre toll!

        
Bezug
ilse: "Formel" unklar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Sa 16.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Ilse,


> ich soll beweisen, dass die n-te ableitung von y = arctanx
> nach folgender Formel berechenbar ist:
>  
> [mm]y^{(n)}\red{(x)} = (n-1)!\sin\left[n*\left(\red{x} + \bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm]
>  
> ich denke dass kann man gut durch induktion machen

[daumenhoch]

> nun häng ich aber an folgender gleichung und komm einfach nicht
> weiter
> [mm]\left(y^{(n)}\right)' = n! * \bruch{(\cos(y))^{n}}{x^{2}+1}[\cos[n(y+\bruch{\pi}{2})] - \sin[n(y+\bruch{\pi}{2})][/mm] x]


Wie kommst Du denn auf diesen Ausdruck, der sieht ja ziemlich wild aus ...


Wenn ich die o.g. Funktion einmal ableite, erhalte ich:

[mm]\left(y^{(n)}(x)\right)' \ = \ y^{(n+1)}(x) \ = \ n!*\cos\left[n*\left(x + \bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm]

Nun wende ich die Formel für Vielfache des Winkels beim Kosinus an (siehe auch: []Wikipedia) :

[mm] $\cos(n*x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n \\ 2k} [/mm] * [mm] \sin^{2k}(x) [/mm] * [mm] \cos^{n-2k}(x)$ [/mm]


Mich irritiert in Deiner Formel oben der Bruch mit [mm] "$x^2+1$" [/mm] im Nenner ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
ilse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Sa 16.04.2005
Autor: ilse

hallo loddar,

du hast da was falsch verstanden,

ich schreib dir alles nochmal ausführlich hin:

_________________________________________

ich soll beweisen, dass die nte ableitung von y = arctanxnach folgender Formel berechenbar ist:

[mm] y^{(n)} [/mm] = (n-1)!sin[n(arctanx+ [mm] \bruch{\pi}{2})] (cos(arctanx))^{n} [/mm]

ich denke dass kann man gut durch induktion machen, nun häng ich aber an folgender gleichung und komm einfach nicht weiter
[mm] (y^{(n)})' [/mm] = n! [mm] \bruch{(cos(arctanx))^{n}}{x^{2}+1}[cos[n(arctanx+\bruch{\pi}{2})] [/mm] - [mm] sin[n(arctanx+\bruch{\pi}{2})] [/mm] x]

__________________________________________


der bruch kommt dann vom nachdifferenzieren des arctan!


Bezug
        
Bezug
ilse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:41 So 17.04.2005
Autor: Paulus

Liebe Ilse

>  
> [mm]y^{(n)}[/mm] = (n-1)!sin[n(y+ [mm]\bruch{\pi}{2})][/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  

Wenn ich jetzt deine Mitteilung zu Loddars Bemerkung lese, dann hast du hier noch etwas vergessen, oder?

Es sollte also heissen:

Mit $y=\arctan x$ gilt:

$y^{\left(n\right)}=\left(n-1\right)!*\sin \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)*\left(\cos\left(y\right)\right)^n$

Wenn wir das nochmals ableiten, sollten wir also das folgende Resultat erhalten:

$y^{\left(n+1\right)}=n!*\sin \left(\left(n+1\right)\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)*\left(\cos\left(y\right)\right)^{n+1}$

Ich glaube, das gibt lediglich eine wüste Rechnerei, sonst nichts! ;-)

Als Vorbereitung brauchen wir vielleicht noch:

I) $\left(\cos \left(y\right)\right)^2 = \bruch{1}{x^2+1}\right)\right)=y'$
II) $\cos \left(\alpha+\beta\right)=\cos \left(\alpha\right) \cos \left(\beta\right) - \sin \left(\alpha\right) \sin \left(\beta\right)$
III) $\cos \left(\alpha - \bruch{\pi}{2}\right)=\sin \left(\alpha\right)$

Dann selbstverständlich

$\left(fg\right)'=f'g+fg'$

Vernachlässigen wir doch mal das (n-1)! (wir setzen es erst am Schluss wieder ein) und setzen:

$f=\sin \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)$

$g=\left(\cos\left(y\right)\right)^n$

Damit gilt:

$f'=n*y'*\cos \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)$

$g'=-n*y'*\sin \left(y\right)*\left(\cos \left(y\right)\right)^{n-1}$

Damit rechnet sich $f'g+fg'$ zu:

$ny'\cos \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)*\left(\cos \left(y\right)\right)^n-n\sin \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)*\left(\cos \left(y\right)\right)^{n-1}*\sin \left(y\right)*y'=$
$n*\left(\cos \left(y\right)\right)^{n-1}*y'*\left(\cos \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)*\cos \left(y\right)-\sin \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)*\sin \left(y\right)\right)$

Hier bringen wir doch wieder das temporär ausgeblendete \left(n-1\right)! ins Spiel und erhalten:

$n!*\left(\cos \left(y\right)\right)^{n-1}*y'*\left(\cos \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)*\cos \left(y\right)-\sin \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)*\sin \left(y\right)\right)$

Mit obigen Regeln I) II) und III) bekommt man jetzt ganz einfach:

$n!*\left(\cos \left(y\right)\right)^{n-1}*\left(\cos \left(y\right)\right)^2*\cos \left(n\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)+y\right)=$

$n!*\left(\cos \left(y\right)\right)^{n+1}*\cos \left(\left(n+1\right)\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)-\bruch{\pi}{2}\right)=$

$n!*\left(\cos \left(y\right)\right)^{n+1}*\sin \left(\left(n+1\right)\left(y+\bruch{\pi}{2}\right)\right)$

Nach einer Anwendung des Kommutativgesetzes stellt man unschwer fest, dass das das erwartete Resultat ist! :-)

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
                
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ilse: alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:43 Mo 18.04.2005
Autor: ilse

ok, das hab ich verstanden, danke dass du alles so schön struckturiert erklärt hast!
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