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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Di 19.09.2006 | | Autor: | Kulli |
Hey,
also die Aufgabe die ich gerade mache lautet:
4 Punkte A,B,C,D im Raum liegen genau dann in einer gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] , [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] linear abhjängig sind. Prüfe, ob A,B,C,D in einer Ebene liegen.
A(1|2|-1) B(4|5|-3) C(-2|0|7) D(3|1|2)
Dann ist [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ja [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} \vektor{-3 \\ -2 \\ 8}
[/mm]
und [mm] \overrightarrow{AD} \vektor{2 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
im gleichungssystem isses dann ja:
3r - 3s + 2t = 0
3r - 2s - 1t = 0
-2r +8s +3t = 0
dann ergibt sich ja auch für r s und t 0...
da aber dann ja r=s=t=0 sind sind sie linear unabhöngig und nicht in einer ebene...
hab ich das jetzt richtig oder komplett falsch? :-/
kann mir denn vll falls das richtig ist jemand ein beispiel dafür geben, wenns liener abhängig ist??
liebe grüße kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Di 19.09.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
für beliebige Vektoren u,v und w hat die Gleichung:
$r*u+s*v+t*w=0$ natürlich immer die Lösung $r=s=t=0$, aber die Definition von linear abhängig besagt, dass aus der Gleichung FOLGEN muss, dass $r=s=t=0$ (also dass dies auch die einzige Lösung des Gleichungssystems ist)
Das sehe ich bei deinem Ansatz noch nicht (also ob du wirklich bis zum ende gerechnet hast,ob es die einzige Lösung ist)..
viele grüße
DaMenge
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Hallo Kulli!
Wie DaMenge schon sagte, ist die Lösung [mm]r=s=t=0[/mm] stets eine Lösung dieses Gleichungssystems. An dir liegt es nun nachzuweisen, daß dies die einzige Lösung (auch triviale Lösung genannt) des vorliegenden Gleichungssystems ist. Diesen Lösungsweg sieht man bei deiner Lösung nicht, sodaß man der Meinung sein kann, daß du kurzum auf die triviale Lösung schließt, was zu linearer Unabhängigkeit deiner Vektoren führen muss. Es besteht jedoch noch die Möglichkeit, daß es ander r, s und t gibt, welche das Gleichungssystem lösen würden...und eben das musst du überprüfen.
Kleines Beispiel:
[mm] r*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}=\overrightarrow{0}
[/mm]
Dieses Gleichungsystem würde auch durch die triviale Lösung [mm]r=t=t=0[/mm] gelöst werden. Das ist jedoch noch kein Beweis dafür, daß diese Vektoren linear unabhängig sind. Es gib nämlich noch eine andere Lösung für dieses Gleichungssystem nämlich [mm]r=1; s=1; t=-1[/mm] wodurch die Vektoren als linear abhängig identifiziert werden.
System verstanden? 
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 19.09.2006 | | Autor: | Kulli |
hmm danke schomal für eure antworten...
also verstanden hab ichs schon aber wie kann ich denn beweisen obs die einzige lösung ist? :-/ sry steh da irgendwie auf dem schlauch..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Di 19.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Naja, Du könntest Dein Gleichungssystem einfach mal lösen und schauen ob es die einzige Lösung ist. Wie Du das machst ist eigentlich egal.
Am schnellesten geht es oft über die Determinante der Koeffizientenmatrix, wenn die ungleich 0 ist, dann gibt es genau eine Lösung bei einem solchen Gleichungssystem.
[mm]det \pmat{ 3 & -3 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \\ -2 & 8 & 3} = -18 -6 +48 -8 +24 +27 = 67 \neq 0 \Rightarrow[/mm] es gibt genau eine Lösung.
Und da wir eine Lösung (alles 0) kennen ist das die einzige.
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