hyperbolisches Paraboloid < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Sa 18.07.2015 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | | Zeige,dass das hyperbolische Paraboloid mit der Gleichung [mm] x^2-y^2-z= [/mm] 0 als Regelfläche parametrisiert werden kann. |
Hallo zusammen!
Die Regelfläche ist bei uns so definiert :
Sei c: I [mm] \to \IR^3 [/mm] eine parametrisierte Raumkurve, v: I [mm] \to \IR^3 [/mm] eine glatte Abbildung mit v(t) [mm] \not= (0,0,0)^T [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] I, J offenes Intervall.
Dann heißt F: I x J [mm] \to \IR^3 [/mm]
F(t,s) = c(t) + s * v(t)
Regelfläche.
Zunächst habe ich mir eie Kurve c überlegt, die durch das hyperbol. Paraboloid läuft. Nämlich c(t) = (t,t, 0)
Meine Idee war es nun diese Kurve mittels des Richtungsvektors v(t) zu verschieben.
Aber ich bin daran gescheitert diesen Vektor zu bestimmen.
Wie kann ich denn aus einer gegebenen Gleichung wie [mm] x^2-y^2-z [/mm] =0, die das hyperbolische Paraboloid darstellt, eine Parametrisierung finden in der Darstellung für eine Regelfläche?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Biensche
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Sa 18.07.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe nicht einen Verschiebungsvektor, sondern einfach eine parametrisierte Darstellung gesucht und sie dann umgeschrieben
du hast
(x=y)*(x-y)=z damit in der z=0 Ebene wie gesagt die Geraden x+y=0 und x-y=0
mit u=x=y, v=x-y
hast du z=u*v
x=(u+v)/2
y=(u-v)/2
also [mm] F(u,v)=\vektor{(u+v)/2 \\ (u-v)/2\\u*v}
[/mm]
oder
[mm] F(u,v)=\vektor{u/2\\u/2\\0}+v*\vektor{1/2\\1/2\\u}
[/mm]
statt u,v hast du t,s
vielleicht musst du noch zeigen, dass du durch Schneiden mit Ebenen x+y=c und x-y=c immer ein Geradenpaar entsteht.
Gruss leduart
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