homogene gleichung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Sa 17.04.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | [mm] Y'(t)=\pmat{ 3 & 1 \\ -2 & 0 } [/mm] Y(t)+ [mm] \vektor{3t-2 \\ -2t}
[/mm]
zunächst habe ich die eigenwerte bestimmt indem ich a)= 1 und b)=2 gefunden habe.die dazugehörigen Eigenvktoren sind für a) [mm] \vektor{\bruch{-1}{2} \\ 1} [/mm] und für b) [mm] \vektor{-1 \\ 1}, [/mm] falls ich es richtig gerechnet habe. nun lautet die frage : geben Sie die Lösung der homogenen Gleichung ab. |
die Frage verstehe ich nicht ?? wie soll ich denn die erste gleichung umschreiben in der ich die neuen werte setze ?? vielen dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 So 18.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm]Y'(t)=\pmat{ 3 & 1 \\ -2 & 0 }[/mm] Y(t)+ [mm]\vektor{3t-2 \\ -2t}[/mm]
>
> zunächst habe ich die eigenwerte bestimmt indem ich a)= 1
> und b)=2 gefunden habe.die dazugehörigen Eigenvktoren sind
> für a) [mm]\vektor{\bruch{-1}{2} \\ 1}[/mm] und für b) [mm]\vektor{-1 \\ 1},[/mm]
> falls ich es richtig gerechnet habe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nun lautet die frage :
> geben Sie die Lösung der homogenen Gleichung ab.
> die Frage verstehe ich nicht ?? wie soll ich denn die
> erste gleichung umschreiben in der ich die neuen werte
> setze ?? vielen dank im voraus.
Deine DGL hat die Form
Y'(t)=A*Y(t)+b(t) mit [mm] A=\pmat{ 3 & 1 \\ -2 & 0 } [/mm] uund [mm] b(t)=\vektor{3t-2 \\ -2t} [/mm] und ist eine sogenannte inhomogene DGL, da [mm] b(t)\ne0 [/mm] gilt.
Die homogene DGL ergibt sich, wenn Du b(t)=0 setzt.
Die vollständige Lösung der DGL ergibt sich als Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL + einer spezielle Lösung der inhomogenen DGL.
Also sind zur Lösung der DGL zwei Aufgaben zu lösen:
a) Finden der allgemeinen homogenen Lösung
b) Finden einer speziellen inhomogenen Lösung
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL findest Du als Linearkombination der zwei gefundenen Lösungen der homogenen DGL [mm] \lambda_1*v_1 [/mm] und [mm] \lambda_2*v_2
[/mm]
wobei [mm] \lambda_i [/mm] die Eigenvewerte und [mm] v_i [/mm] die Eigenvektoren sind mit i=1,2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 18.04.2010 | | Autor: | safsaf |
vielen vieln Dank!!
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