holomorphe Wurzel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 So 31.05.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | a) Sind [mm] g_1,g_2 [/mm] k-te holomorphe Wurzeln von f, so gibt es ein c [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] c^k=1 [/mm] und [mm] g_1=cg_2
[/mm]
b) Wenn f einen holomorphen Logarithmus besitzt, dann existiert eine k-te holomorphe Wurzel von f. Gilt die Umkehrung? |
Hallo,
ich benötige mal wieder Hilfe 
zu a) Es gilt ja [mm] g_1^k=f [/mm] und [mm] g_2^k=f. [/mm] Also [mm] (g_1/g_2)^k=1. [/mm] Ich muss also zeigen, dass [mm] g_1/g_2 [/mm] konstant =c ist. Wie mache ich das? Ich hatte versucht [mm] (g_1/g_2) [/mm] abgeleitet in der Hoffnung, dass 0 heraus kommt. Aber das funktioniert nicht.
zu b) Wenn f einen holomorphen Logarithmus g besitzt, gilt f(z)=exp(g(z)).
Allerdings habe ich keinen wirklichen Ansatz für den Beweis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 31.05.2015 | | Autor: | hippias |
> a) Sind [mm]g_1,g_2[/mm] k-te holomorphe Wurzeln von f, so gibt es
> ein c [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]c^k=1[/mm] und [mm]g_1=cg_2[/mm]
> b) Wenn f einen holomorphen Logarithmus besitzt, dann
> existiert eine k-te holomorphe Wurzel von f. Gilt die
> Umkehrung?
> Hallo,
>
> ich benötige mal wieder Hilfe
>
> zu a) Es gilt ja [mm]g_1^k=f[/mm] und [mm]g_2^k=f.[/mm] Also [mm](g_1/g_2)^k=1.[/mm]
> Ich muss also zeigen, dass [mm]g_1/g_2[/mm] konstant =c ist. Wie
> mache ich das? Ich hatte versucht [mm](g_1/g_2)[/mm] abgeleitet in
> der Hoffnung, dass 0 heraus kommt. Aber das funktioniert
> nicht.
Dann leite doch den Ausdruck ab, ueber den Du etwas weisst: [mm] $\left((\frac{g_{1}}{g_{2}})^{k}\right)'=?$.
[/mm]
>
> zu b) Wenn f einen holomorphen Logarithmus g besitzt, gilt
> f(z)=exp(g(z)).
> Allerdings habe ich keinen wirklichen Ansatz für den
> Beweis.
Genuegt [mm] $(exp(z))^{k}= [/mm] exp(kz)$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 31.05.2015 | | Autor: | rollroll |
Es ist ja [mm] \left((\frac{g_{1}}{g_{2}})^{k}\right)'=k(g_1/g_2)^k*\bruch{g_1'g_2-g_1g_2'}{g_2}. [/mm] Und nun?
Mit dem zweiten Hinweis kann ich irgendwie noch nicht ganz so viel anfangen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 So 31.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
die rechte Seite auch ableiten.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 31.05.2015 | | Autor: | rollroll |
Welche rechte Seite?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:36 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Welche rechte Seite?
Mann, Du hast doch $ [mm] (g_1/g_2)^k=1. [/mm] $
Die Ableitung der linken Seite hattest Du (bis auf [mm] g_2^2 [/mm] im Nenner) richtig.
Die rechte Seite = 1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:54 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rollroll |
Das hatte ich gekürzt, weil man ja [mm] (g_1/g_2)^{k-1} [/mm] beim Ableiten hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das hatte ich gekürzt, weil man ja [mm](g_1/g_2)^{k-1}[/mm] beim
> Ableiten hat.
Dann lautet das aber
$ [mm] \left((\frac{g_{1}}{g_{2}})^{k}\right)'=k*\bruch{g_1^{k-1}}{g_2^k}\cdot{}\bruch{g_1'g_2-g_1g_2'}{g_2}=0 [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rollroll |
Danke Fred! Jetzt ist der Groschen gefallen!
Zur b) Hier konnte ich den Ansatz noch nicht wirklich verwerten... [mm] (exp(z))^{k}= [/mm] exp(kz)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred! Jetzt ist der Groschen gefallen!
>
> Zur b) Hier konnte ich den Ansatz noch nicht wirklich
> verwerten... [mm](exp(z))^{k}=[/mm] exp(kz)
Wenn [mm] f=e^g, [/mm] so setze (mit k [mm] \in \IN):
[/mm]
[mm] h:=e^{\bruch{1}{k}g}
[/mm]
Dann ist [mm] h^k=f
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rollroll |
Danke! Kann man beim Gegenbeispiel k=2 und [mm] f(z)=\wurzel{z} [/mm] wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke! Kann man beim Gegenbeispiel k=2 und [mm]f(z)=\wurzel{z}[/mm]
> wählen?
Na ja, welchen Zweig der Wurzel auf welchem Gebiet meinst Du denn ??
Wie wärs mit h(z)=z und [mm] f(z)=z^2 [/mm] ? Alles auf [mm] \IC. [/mm] Dann ist [mm] f=h^2.
[/mm]
h ist also eine holomorphe Wurzel von f
Hat f einen holomorphen Logarithmus auf [mm] \IC [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rollroll |
Aber es ist doch [mm] z^2=exp(log(z^2)), [/mm] solange z ungleich 0. Ist dies der Widerspruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Aber es ist doch [mm]z^2=exp(log(z^2)),[/mm] solange z ungleich 0.
> Ist dies der Widerspruch?
Hat f einen holomorphen Logarithmus, so muss f nullstellenfrei sein.
Fred
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