hol. Funktion abschätzen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 05.02.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Sei f: [mm] K_1(0)\to K_1(0) [/mm] holomorph mit f(0)=f'(0)=0
Zeigen sie dass dann [mm] |f(z)|<|z^2| [/mm] für alle [mm] z\in K_1(0) [/mm] gilt. |
Als holomorphe Funktion besitzt f eine Darstellung als Potenzreihe wobei [mm] a_1=0
[/mm]
[mm] f(z)=\summe_{n=2}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n
[/mm]
Hilft mir das?
Meine Überlegungen gingen in die Richtung, dass f ja in jeder geraden Richtung vom Ursprung weg monoton steigen muss, da man sonst ein lokales Maximum hat, was nicht sein darf nach Maximumprinzip. Andererseits darf f nach Def. für kein [mm] z\in K_1(0) [/mm] größer als 1 werden.
Geht das in die richtige Richtung? Da sollte sich irgendwie ja auch [mm] |z^n|<|z^2| [/mm] für [mm] z\in K_1(0) [/mm] und n>2 einbauen lassen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
1: Das: $ [mm] |f(z)|<|z^2| [/mm] $, kann nicht sein !! Wie das Beispiel $f(z) = [mm] z^2$ [/mm] zeigt.
Also ist die Behauptung: $ [mm] |f(z)|\le|z^2| [/mm] $
2: Der folgende Beweis orientiert sich am Beweis des Schwarzschen Lemmas (hattet Ihr das schon ?)
Setze
g(z) = [mm] \bruch{f(z)}{z^2} [/mm] , falls z [mm] \in [/mm] $ [mm] K_1(0) [/mm] $ und [mm] $z\not= [/mm] 0$
und g(0) = [mm] \bruch{f''(0)}{2}.
[/mm]
Wegen f(0)=f'(0)=0 ist g auf $ [mm] K_1(0) [/mm] $ holomorph.
Sei 0<r<1. Für |z| [mm] \le [/mm] r gilt nach dem Maximumprinzip:
|g(z)| [mm] \le [/mm] max{ |g(w)| : |w|=r } = max{ [mm] \bruch{|f(w)|}{|w|^2} [/mm] : |w|=r } [mm] \le \bruch{1}{r^2}.
[/mm]
Jetzt lasse r gegen 1 gehen und Du erhälst:
|g(z)| [mm] \le [/mm] 1 für z [mm] \in [/mm] $ [mm] K_1(0) [/mm] $,
also
$ [mm] |f(z)|\le|z^2| [/mm] $ für z [mm] \in [/mm] $ [mm] K_1(0) [/mm] $.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Was ich oben schrieb, lässt folgende Verallgemeinerung zu:
Ist f: [mm] K_1(0) [/mm] --> [mm] K_1(0) [/mm] holomorph , n [mm] \in \IN [/mm] und f(0)= f'(0) = ... = [mm] f^{(n)}(0) [/mm] = 0, so gilt:
$|f(z)| [mm] \le |z|^{n+1}$ [/mm] für jedes z [mm] \in K_1(0)
[/mm]
FRED
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