hessesche normalenform < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 So 18.03.2007 | | Autor: | alien |
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hallo forum menschen!
Es soll die Hessesche Normalenform der Ebene
E: [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ -1} [/mm] ] [mm] \* \vektor{2 \\ -1 \\ 2} [/mm] = 0
erstellt werden.
Ausserdem der Abstand des Punktes (2|4|-1) zu der Ebene.
ich bin soweit gekommen, dass n0 = [mm] \bruch{1}{3} \* \vektor{2 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
sein müsste.
wie komme ich auf d und wie bestimme ich den abstand?
denke schonnmal! lieben gruß
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> Es soll die Hessesche Normalenform der Ebene
> E: [ [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ -1}[/mm] ] [mm]\* \vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> = 0
> erstellt werden.
> Ausserdem der Abstand des Punktes (2|4|-1) zu der Ebene.
>
> ich bin soweit gekommen, dass n0 = [mm]\bruch{1}{3} \* \vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
Hallo,
hiermit bist Du der Normalenform schon ein Stück näher gekommen.
Wenn Du nun in
[ [mm] \vec{x}- \vektor{3 \\ 5 \\ -1}]\* \vektor{2 \\ -1 \\ 2}= [/mm] 0
die Klammer ausmultiplizierst und das Ganze mit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] malnimmst, hast Du es, also
[mm] \bruch{1}{3}[ \vec{x}- \vektor{3 \\ 5 \\ -1}]\* \vektor{2 \\ -1 \\ 2}=\bruch{1}{3}* [/mm] 0=0
(Dein d ist dann ja [mm] \bruch{1}{3}[\vektor{3 \\ 5 \\ -1}\* \vektor{2 \\ -1 \\ 2}.)
[/mm]
Den Abstand des Punktes zur Ebene erhältst Du, wenn Du in die Hessesche Normalenform für [mm] \vec{x} [/mm] den Ortsvektor des Punktes einsetzt. Ist der berechnete Abstand positiv, so liegen er Nullpunkt und der zu betrachtende Punkt auf derselben Seite der Ebene, ist er negativ, liegen sie auf verschiedenen Seiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 18.03.2007 | | Autor: | alien |
also ist mein d= (6- 5- 2) [mm] \* [/mm] 1/3 = -1 [mm] \* [/mm] 1/3 = -1/3 ?
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> also ist mein d= (6- 5- 2) [mm]\*[/mm] 1/3 = -1 [mm]\*[/mm] 1/3 = -1/3 ?
Ja.
Deine HNF
heißt dann
[mm] 0=\bruch{1}{3} \vektor{2 \\ -1 \\ 2}\vec{x}- (-\bruch{1}{3})= \vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3}}\vec{x}+\bruch{1}{3}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 18.03.2007 | | Autor: | alien |
eine frage noch:
dann ist der abstand 4/3 - 4/3 -2/3 = -2/3 ?
oder muss ich noch die 1/3 dazurechnen, also d= - 1/3 ?
dann hätte ich alles verstanden!
dankeschön!!!
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Paß auf:
Deine HNF ist
[mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\\bruch{2}{3}}\vec{x}+\bruch{1}{3}=0.
[/mm]
Alle Vektoren [mm] \vec{x}, [/mm] die diese Gleichung erfüllen, zur Ebene den Abstand 0 haben, liegen in der Ebene.
Wenn Du jetzt den Abstand Deines Punktes von dieser Ebene wissen möchtest, setzt Du ihn in [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3}\\\bruch{2}{3}}\vec{x}+\bruch{1}{3} [/mm] ein, rechnest, und als Ergebnis purzelt Dir der Abstand heraus. Da steht dann - sofern es sich nicht um einen Vektor in der Ebenen handelt - nicht "=0", sondern "= etwas anderes".
Gruß v. Angela
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