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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 So 31.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Sei P eine hermitsche Matrix und seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] Eigenvektoren von P zu verschiedenen Eigenwerten. Man beweise, dass [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] bezüglich des hermitschen Standartproduktes [mm] \IC^n [/mm] orthogonal zueinander stehen. |
Ich habe mal so begonnen:
Seien [mm] \lambda_1 \not= \lambda_2 [/mm] die Eigenwerte zu [mm] X_1 [/mm] bzw. [mm] X_2.
[/mm]
[mm] \varphi(X_1) [/mm] = [mm] \lambda_1*X_1
[/mm]
[mm] \varphi(X_2) [/mm] = [mm] \lambda_2*X_2
[/mm]
Doch wie kann ich nun am besten weitermachen um zu zeigen, dass [mm] X_1 \perp X_2 [/mm] ist?
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Hallo jokerose,
> Sei P eine hermitsche Matrix und seien [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm]
> Eigenvektoren von P zu verschiedenen Eigenwerten. Man
> beweise, dass [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] bezüglich des hermitschen
> Standartproduktes [mm]\IC^n[/mm] orthogonal zueinander stehen.
> Ich habe mal so begonnen:
>
> Seien [mm]\lambda_1 \not= \lambda_2[/mm] die Eigenwerte zu [mm]X_1[/mm] bzw.
> [mm]X_2.[/mm]
>
> [mm]\varphi(X_1)[/mm] = [mm]\lambda_1*X_1[/mm]
> [mm]\varphi(X_2)[/mm] = [mm]\lambda_2*X_2[/mm]
>
> Doch wie kann ich nun am besten weitermachen um zu zeigen,
> dass [mm]X_1 \perp X_2[/mm] ist?
orthogonal bedeutet ja, dass das Skalarprodukt =0 ist, da setze an:
Die zu $P$ gehörige lineare Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] ist selbstadjungiert, dh. [mm] $\langle\varphi(X),Y\rangle=\langle X,\varphi(Y)\rangle$ [/mm] für alle [mm] $X,Y\in\IC^n$
[/mm]
Frage: wieso?
Du willst mit dem oben Gesagten zeigen, dass [mm] $\langle X_1,X_2\rangle=0$ [/mm] ist.
Setze mal mit [mm] $\lambda_1\cdot{}\langle X_1,X_2\rangle$ [/mm] an ...
Das ergibt sich beim Aufschreiben dann eigentlich von selbst 
LG
schachuzipus
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