hermitesche Form < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 So 12.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
man sagt ja, eine symmetrische Bilinearform s ist positiv definit, wenn s(v,v)>0 für alle v [mm] \in [/mm] V, v [mm] \not= [/mm] 0.
Wie ist denn das bei der hermiteschen Form?
Viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 So 12.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Regine
> man sagt ja, eine symmetrische Bilinearform s ist positiv
> definit, wenn s(v,v)>0 für alle v [mm]\in[/mm] V, v [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Wie ist denn das bei der hermiteschen Form?
Ja! Man kann ja zeigen, dass für eine Hermitesche Form [mm] $\beta$ [/mm] gilt: [mm] $\beta({\vec{x}},{\vec{x}}) \in \mathbb{R}$. [/mm] Darum kann auch hier die Definition von "positiv definit" übernommen werden.
Dann gilt auch: unter einem Skalaren Produkt in einem Komplexen Vektorraum versteht man eine positiv definite Hermitesche Form.
Ich hoffe, zusammen mit der Antwort zu deiner Frage über die Ueberprüfung auf Skalarprodukt sei jetz alles klar.
Falls nicht, meldest du dich einfach wieder! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 So 12.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
herzlichen Dank erstmal!
Ich fasse mal zusammen:
Skalarprodukt in [mm] \IR [/mm] = positiv definite symmetrische Bilinearform
Skalarprodukt in [mm] \IC [/mm] = positiv definite hermitesche Sesquilinearform
Und je nach dem, was gegeben ist, klapper ich die Kriterien in logischer Reihenfolge (also meine Liste oben sozusagen rückwärts) ab.
Sprich: Ist es eine Bilinearform? Ist sie zudem symmetrisch? Und dann auch noch positiv definit? Dann ist durch das vorhin gegebene Integral ein Skalarprodukt gegeben.
Vielen Dank und liebe Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 So 12.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Regine
Ja, geau so, wie du es zusammengefasst hast, ists korrekt.
(wenngleich du die Angaben für "reellen vektorraum" und "Komplexen Vektorraum" nicht sorgfältig gemacht hast, es sollte heissen; Vektorraum über [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] etc.).
Und dein Integral ist tatsächlich ein Skalarprodukt! (Unter den von mir angenommenen Voraussetzungen)
Mit lieben Grüssen
Paul
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