heftige Ableitung (finde ich) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 So 04.07.2004 | | Autor: | Mephi |
folgende Aufgabe macht mir n bissl Kopfschmerzen
f(x)= [mm] \integral_{sinh(x)}^{e^x} {\wurzel{|sin(t)|+|t|}dt}
[/mm]
Der Übungsleiter meinte es gibt nen Trick um den Integral zu eleminieren aber mehr hatter dann auch net gesagt. =/
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Hi.
Betrachte die Hilfsfunktion g mit
[mm] $g(x)=\int_0^x \sqrt{|\sin t|+|t|}dt$
[/mm]
(die 0 als untere Grenze ist zufällig gewählt, jede andere reelle Zahl hätte es auch getan)
Der Integrand ist offensichtlich eine stetige Funktion, deshalb ist g eine Stammfunktion des Integranden, es gilt also
[mm] $g'(x)=\sqrt{|\sin x|+|x|}$
[/mm]
Dein f(x) lässt sich jetzt schreiben als:
[mm] $f(x)=g(e^x)-g(\sinh [/mm] x)$
Berechne jetzt mit der Kettenregel und unter Verwendung der bekannten Ableitung von g einfach die Ableitung von f, du wirst sehen, dass du über g selbst sonst gar nichts zu wissen brauchst.
Ich hoffe, so schaffst du es.
Gruß
Philipp
(Was hier stand, hat sich erledigt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 04.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen,
nur eine kleine Bemerkung:
Allgemeiner kann man mit etwas mehr Aufwand die berühmte Leibniz'sche Regel herleiten:
Für
$f(x) = [mm] \int\limits_{h(x)}^{g(x)} F(t,x)\, [/mm] dt$
gilt unter hinreichenden Differenzierbarkeitsvoraussetzungen:
$f'(x) = [mm] \int\limits_{h(x)}^{g(x)} \frac{d}{dx} F(t,x)\, [/mm] dt + g'(x) F(g(x),x) - h'(x) F(h(x),x)$.
Liebe Grüße
Stefan
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