harmonischer Oszillator < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 So 01.05.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
| Aufgabe | Eine partikuläre Lösung [mm] x_{p}(t) [/mm] für den gedämpften harmonischen Oszillator mit beliebiger äußerer Kraft F(t) lautet nach Vorlesung:
[mm] x_{p}(t) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{dt'\bruch{F(t')}{m}G(t-t')}
[/mm]
mit der Greenschen Funktion
[mm] G(t)=\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{d\omega\bruch{e^{-i \omega t}}{\omega^{2}_{0}-\omega^{2}-2i\gamma \omega}}
[/mm]
Zeigen Sie, dass sich für F(t) = [mm] F_{0}cos \omega*t [/mm] die bekannte partikuläre Lösung des harmonisch angeregten Oszillators ergibt.
Hinweis: Verwenden Sie die Definition der [mm] \delta-Funktion:
[/mm]
[mm] \delta(\omega) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{dt e^{i \omega*t}} [/mm] |
Ich habe diese Aufgabe auf meinem Aufgabenzettel und hab nicht die geringste Idee, wie ich hier anfangen muss, geschweige denn, was ich überhaupt genau machen muss.
Über einen Ansatz würde ich mich freuen,
Vielen Dank
Tin-Chen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Di 03.05.2011 | | Autor: | Feli_x |
Hallo Tin-Chen,
ich glaube die Aufgabe habe ich schonmal gesehen, auf unserem TheoMech Zettel der letzten Woche ;)
Wirf einmal einen Blick auf unsere Definition der Fourier-Transformation:
$ f(t) [mm] \to f(\omega):=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{i\omega t}f(t) dt} [/mm] $
setzt du jetzt für $ f(t) $ die Funktion $ [mm] cos(\omega't) [/mm] $ in Exponentialdarstellung ein, erhälst du
$ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{i(\omega+\omega')t}+e^{i(\omega-\omega')t} dt} [/mm] $
Vergleichst du das mit der Definition von $ [mm] \delta(\omega) [/mm] $, solltest du sehen, dass dieser Term gleich $ [mm] \pi(\delta(\omega+\omega')+\delta(\omega-\omega')) [/mm] $ ist, und somit
$ [mm] x(\omega)=\bruch{f(\omega)}{\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega-\omega^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\pi((\omega+\omega')+(\omega-\omega'))}{\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega-\omega^{2}} [/mm] $.
Da auch $ [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-i\omega t}x(\omega) d\omega}=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t')G(t'-t) dt'} [/mm] $ (Skript S.23), sollte sich das jetzt leicht integrieren lassen und das gewünschte Ergebnis bringen.
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