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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mo 23.05.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | | wir haben folgende aufgabe gestellt bekommen: sind A,B [mm] \in Mat(nxn,\mathbb [/mm] C) mit A*B=B*A und j [mm] \in \mathbb [/mm] N. Dann gilt: [mm] (A+B)^j=\sum\limits_{k=0}^j\frac{j!*A^kB^{j-k}}{k!(j-k)!}. [/mm] Dies ist zu beweisen. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:, aber keine Hilfe erhalten
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1407172#post1407172
Meine Ideen:
ich habs mit vollständiger induktion probiert:
I.A.: für n=0 [mm] (A+B)^0=\frac{0!*A^0B^{0-0}}{0!(0-0)!} \Leftrightarrow E_n=E_n [/mm] stimmt es. I.S.:
[mm] (A+B)^{j+1}=\sum\limits_{k=0}^{j+1}\frac{(j+1)!*A^kB^{j+1-k}}{k!(j+1-k)!}\gdw (A+B)^{j}(A+B)=(A+B)^j+\frac{(j+1)!*A^{j+1}B^{j+1-j-1}}{(j+1)!(j+1-j-1)!} \gdw (A+B)^{j}(A+B)=(A+B)^j+A^{j+1}
[/mm]
und weiter komm ich nicht. Kann man noch irgwas umformen damit beide seiten der gleichung übereinstimmen?
viele danke für hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mo 23.05.2011 | | Autor: | herben |
Ich weiß nicht, ob dass als Antwort ausreicht, aber mir fällt da spontan der binomische Lehrsatz ein. Der besagt, dass
[mm] $(x+y)^j=\sum_{k=0}^j{\vektor{j \\ k} x^{j-k}y^k}$
[/mm]
Auf $A$ und $B$ angewendet ergibt sich
[mm] $(A+B)^j=\sum_{k=0}^j{\vektor{j \\ k} A^{j-k}B^k}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^j{\bruch{j!}{k!(j-k)!} A^{j-k}B^k}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^j{\bruch{j!A^{j-k}B^k}{k!(j-k)!}}$
[/mm]
Das ist ja quasi die Form. Nun weiß ich allerdings nicht, ob man den binomischen Satz ohne Weiteres auf Matrizen anwenden darf, oder ob gerade das in der Aufgabe zu zeigen ist, also dass die Aufgabe umformuliert quasi lautet "zeige, dass der binomische Satz auch für Matrizen gilt...
Vielleicht hilft es ja trotzdem
mfg
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