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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Sa 05.01.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe und sei H eine nicht- leere Teilmenge von G. Zeige: H ist eine Untergruppe von
G dann und nur dann, wenn hg [mm] \in [/mm] H für alle h,g [mm] \in [/mm] H. |
die Hinrichtung ist mir schon klar, aber die Rückrichtung würde doch bedeuten das für eine Untergruppe nur die Abgeschlossenheit reicht, das kommt mir ein bischen komisch vor.
Es wäre nett wenn mir da mal jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Sa 05.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei G eine endliche Gruppe und sei H eine nicht- leere
> Teilmenge von G. Zeige: H ist eine Untergruppe von
> G dann und nur dann, wenn hg [mm]\in[/mm] H für alle h,g [mm]\in[/mm] H.
> die Hinrichtung ist mir schon klar, aber die Rückrichtung
> würde doch bedeuten das für eine Untergruppe nur die
> Abgeschlossenheit reicht, das kommt mir ein bischen komisch
> vor.
Du hast ja nicht nur die Abgeschlossenheit, sondern auch dass die Menge nichtleer ist. Das ist schonmal ein Unterschied 
Viel wichtiger ist aber, dass die Gruppe selber endlich ist (es wuerde uebrigens auch schon reichen, wenn $H$ endlich ist). Du musst nun zeigen, dass das Neutralelement in $H$ liegt und dass zu jedem $a [mm] \in [/mm] H$ auch [mm] $a^{-1}$ [/mm] in $H$ liegt.
Dazu nimmst du dir ein $a [mm] \in [/mm] H$ und schaust dir die Potenzen $a, [mm] a^2, a^3, a^4, \dots$ [/mm] an. Die liegen ja alle in $H$. Jetzt ist $G$ (und somit insb. $H$ endlich). Kannst du damit was machen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 So 06.01.2008 | | Autor: | jumape |
Vielen Dank erstmal.
Kann ich also annehmen, da die Gruppe endlich ist müssen sich beim potenzieren von a Werte wiederholen. Und damit weiß ich dann dass ich irgendwie wieder bei a gelandet bin, also ein Inverses zu a existiert, und damit dann auch das neutrale Element. Mit der Abgeschlossenheit ist dann eine Untergruppe gegeben.
Das ist doch dann die Srgumentation, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 06.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Kann ich also annehmen, da die Gruppe endlich ist müssen
> sich beim potenzieren von a Werte wiederholen.
Genau.
> Und damit weiß ich dann dass ich irgendwie wieder bei a gelandet bin,
> also ein Inverses zu a existiert, und damit dann auch das
> neutrale Element.
Vorsicht, das stimmt zwar, aber man muss es erstmal zeigen! Wenn sich die Werte wiederholen hast du erstmal nur $i, j [mm] \in \IN$ [/mm] mit $i < j$ und [mm] $a^i [/mm] = [mm] a^j$, [/mm] und a priori erstmal kein $n [mm] \in \IN$, [/mm] $a > 1$ mit [mm] $a^n [/mm] = a$. Allerdings kannst du aus $i$ und $j$ solch ein $n$ bekommen, und ein $n$ mit [mm] $a^n [/mm] = e$ und ein $n$ mit [mm] $a^n [/mm] = [mm] a^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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