großes mathematisches Problem < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mo 05.11.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | In einem Festplattenlaufwerk werde der Datenträger innerhalb von 4s vom Ruhezustand gleichmäßig bis zur Nenndrehzahl von 8000 Upm beschleunigt. Die Drehachse des Laufwerks liege im Koordinatenursprung [mm] (\vec [/mm] r = (0,0)cm). Betrachten Sie nun einen Datenbit auf der HD, dessen Ortsvektor folgende Zeitabhängigkeit hat:
[mm] \vec r(t)=(5*cos\phi(t)*\vec e_x+5*sin\phi(t)*\vec e_y)[cm]
[/mm]
(a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung und welche Zeitabhängigkeit hat die Funktion [mm] \phi(t) [/mm] |
Hallo!
Stehe bei der Aufgabe etwas auf dem Schlauch.
Also [mm]\vec r(t)[/mm] ist einfach der Ortsvektor unseres Bits zu dem Zeitpunkt t.
Jetzt soll ich die Winkelbeschleunigung ausrechnen...und ich weiß beim Besten Willen nicht wie.
Ich weiß, dass ich wenn ich [mm] \phi(t) [/mm] zwei mal nach t ableite, dann erhalte ich [mm] \alpha, [/mm] die Winkelbeschleunigung, aber was muss ich wo einsetzen. Gibts da noch ne extra Formel für oder sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht?
Danke für jede Hilfe!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mo 05.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
> In einem Festplattenlaufwerk werde der Datenträger
> innerhalb von 4s vom Ruhezustand gleichmäßig bis zur
> Nenndrehzahl von 8000 Upm beschleunigt. Die Drehachse des
> Laufwerks liege im Koordinatenursprung [mm](\vec[/mm] r = (0,0)cm).
> Betrachten Sie nun einen Datenbit auf der HD, dessen
> Ortsvektor folgende Zeitabhängigkeit hat:
> [mm]\vec r(t)=(5*cos\phi(t)*\vec e_x+5*sin\phi(t)*\vec e_y)[cm][/mm]
>
> (a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung und welche
> Zeitabhängigkeit hat die Funktion [mm]\phi(t)[/mm]
> Hallo!
> Stehe bei der Aufgabe etwas auf dem Schlauch.
> Also [mm]\vec r(t)[/mm] ist einfach der Ortsvektor unseres Bits zu
> dem Zeitpunkt t.
> Jetzt soll ich die Winkelbeschleunigung ausrechnen...und
> ich weiß beim Besten Willen nicht wie.
Schau dir nochmal die Aufgabe an:
1. Am Anfang dreht sich die Platte nicht
2. Nach 4s dreht sich die Platte mit 8000 Umdrehungen pro Minute (Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit jetzt?)
3. Die Beschleunigung ist gleichmäßig, das heißt, die Winkelbeschleunigung ist konstant.
Daraus kannst du zunächst die Winkelgeschwindigkeit [mm]\omega(t)[/mm] und dann [mm]\phi(t)[/mm] bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Di 06.11.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Rainer!
> Schau dir nochmal die Aufgabe an:
> 1. Am Anfang dreht sich die Platte nicht
> 2. Nach 4s dreht sich die Platte mit 8000 Umdrehungen pro
> Minute (Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit jetzt?)
> 3. Die Beschleunigung ist gleichmäßig, das heißt, die
> Winkelbeschleunigung ist konstant.
> Daraus kannst du zunächst die Winkelgeschwindigkeit
> [mm]\omega(t)[/mm] und dann [mm]\phi(t)[/mm] bestimmen.
Tut mir leid, aber im Moment versteh ich grad nicht mehr viel.
Ich habe hier eine Winkelbeschleunigung. Innerhalb von 4 Sekunden beschleunigt die Scheibe auf 8000 Umdrehungen pro Minute.
Ich kenne jetzt die Formel [mm]\omega[/mm][mm] =2\pi*f
[/mm]
Nun hängt aber [mm]\omega[/mm] von t ab, weil es sich ja um eine Beschleunigte "Bewegung" handelt. Und dann setzt es bei mir aus.
Kannst du/ oder jemand anderes da noch mal helfen? Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 06.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
Während der 4s gilt:
Die Winkelgeschwindigkeit ist [mm]\omega(t)=\dot\phi(t)[/mm].
Die Winkelbeschleunigung ist konstant: [mm]\dot\omega(t) = C[/mm].
Also ist [mm]\omega(t) = C\cdot t[/mm].
Außerdem weisst du, dass [mm]\omega(0)=0[/mm] und [mm]\omega(4\mathrm{s}) = 8000 /\mathrm{min}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 06.11.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Danke für deine Geduld Rainer!
So ich hoffe ich habe das nun richtig gerechnet.
t=0 => [mm] \omega=0
[/mm]
t=4s => [mm] \omega=8000Upm=133,3s^{-1}
[/mm]
[mm]\alpha=\bruch{\Delta\omega}{\Delta t}=\bruch{133,3s^-^1}{4s}=33,3 s^{-2}[/mm]
Das ist dann also die Winkelbeschleunigung [mm] 33,3s^{-2}.
[/mm]
Wie ist denn die Zeitabhängigkeit der Funktion? Also [mm] \phi [/mm] hängt von t ab, des ist klar. Bei der Funktion ist das Ganze ja noch mit sinus und cosinus...ich weiß nicht was ich dann schreiben soll.
Die zweite Aufgabe lautet dann:
Berechnen Sie für den Zeitpunkt t=3s nach dem Start des Laufwerks:
(b) den Ortsvektor des Bits
Das habe ich dann so gemacht:
[mm] \vec r(t)=(5\cdot{}cos\phi(t)\cdot{}\vec e_x+5\cdot{}sin\phi(t)\cdot{}\vec e_y)
[/mm]
Dann für [mm] \phi(t) [/mm] folgendes eingesetzt:
[mm] \phi(t)=0,5*\alpha*t^2
[/mm]
Dann t=3s einsetzen und für [mm] \alpha [/mm] 33,3 [mm] s^{-2}
[/mm]
Dann komme ich auf [mm] \vec r(3)=(\approx [/mm] 3,5 + [mm] \approx [/mm] -3,57), das habe ich mit dem Taschenrechner im "rad"-Modus gerechnet.
Ist das richtig?
Vielen Dank noch mal für jede Hilfe!
Mfg ONeill
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Hallo!
Vielleicht solltest du mal die Rotation und Translation gegenüberstellen:
[mm] $s\leftrightarrow \phi$
$v\leftrightarrow \omega$
$a\leftrightarrow \alpha$
So, die Formeln für gleichmäßige und gleichmäßig beschleunigte Bewegung kennst du, die kannst du 1:1 ummünzen in die Formeln für gleichmäßige bzw gleichmäßig beschleunigte Rotationsbewegungen.
(Sowas kann man auch weiterführen für Energie, Masse, Impuls,...)
Letztendlich hast du ja schon die Formel $\phi(t)=\frac{1}{2}\alpha t^2$ angegeben, das entspricht ja $s(t)=\frac{1}{2}a t^2$ (Und eigendlich ist diese Formel \phi(t) ja schon die Antwort auf deine noch offene Frage nach der Zeitabhängigkeit....)
Ansonsten, deine Zahlenwerte unten sehen gut aus!
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Di 06.11.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
> Vielleicht solltest du mal die Rotation und Translation
> gegenüberstellen:
Ja das habe ich gemacht, dann wird das Ganze wesentlich anschaulicher.
> [mm]s(t)=\frac{1}{2}a t^2[/mm] (Und eigendlich ist diese Formel
> [mm]\phi(t)[/mm] ja schon die Antwort auf deine noch offene Frage
> nach der Zeitabhängigkeit....)
Also schreibe ich:
Die Funktion [mm] \phi(t) [/mm] ist vom Quadrat der Zeit abhängig.
Ist das so in Ordnung?
> Ansonsten, deine Zahlenwerte unten sehen gut aus!
Wunderbar, danke für deine Hilfe!
bei c soll ich nun folgendes machen:
Berechnen Sie für den Zeitpunkt t=3s nach dem Start des Laufwerks:
(c) die Winkelgeschwindigkeit und den Vektor der Bahngeschwindigkeit
Ok die Winkelgeschwindigkeit ist
[mm] \omega(3)=alpha*t=33,3s^{-1}*3s=100
[/mm]
Nun fehlt noch der Vektor der Bahngeschwindigkeit. Diese ist ja eine Tangente an die Kreisbahn. Also muss der Vektor der Bahngeschwindigkeit orthogonal zum Ortsvektor unseres Punkte (aus Aufgabe (b)) sein. Doch ich weiß nicht wie ich auf die Länge/den Betrag des Vektors komme.
Gibts da einfach eine Formel wo ich einsetzen kann? Danke noch mal!
Gruß ONeill
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Hallo!
Ja, solche Formeln gibt es. Es gilt
[mm] s=\phi*r
[/mm]
[mm] v=\omega*r
[/mm]
[mm] a=\alpha*r
[/mm]
Bedenke, daß, wenn du deinen orthogonalen Vektor hast, du den erst noch normieren mußt!
Es gibt übrigens noch eine andere Methode. Die Winkelgeschwindigkeit kannst du auch vektoriell angeben, dieser Vektor ist aber parallel zur Drehachse. (Wir müssen zu 3D übergehen): [mm] \vec\omega=\vektor{0\\0\\ \alpha t}
[/mm]
Dann gilt
[mm] $\vec v=\vec \omega\times \vec [/mm] r$
Aber ich denke mal, das wäre vorerst zu viel des guten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 06.11.2007 | | Autor: | ONeill |
> Hallo!
>
> Ja, solche Formeln gibt es. Es gilt
>
>
> [mm]s=\phi*r[/mm]
>
> [mm]v=\omega*r[/mm]
>
> [mm]a=\alpha*r[/mm]
Ok ich will den Betrag von v rausbekommen. Also setze ich einfach hier ein:[mm]v=\omega*r[/mm]
Omega ist dabei 100 und r nehme ich an der Radius. Dann muss ich also den Betrag von meinem Ortsvektor des Punktes, den ich bei b ausgerechnet habe einsetzen, richtig?
> Bedenke, daß, wenn du deinen orthogonalen Vektor hast, du
> den erst noch normieren mußt!
Danke für den Hinweis.
>
> Es gibt übrigens noch eine andere Methode. Die
> Winkelgeschwindigkeit kannst du auch vektoriell angeben,
> dieser Vektor ist aber parallel zur Drehachse. (Wir müssen
> zu 3D übergehen): [mm]\vec\omega=\vektor{0\\0\\ \alpha t}[/mm]
>
> Dann gilt
>
>
> [mm]\vec v=\vec \omega\times \vec r[/mm]
>
>
> Aber ich denke mal, das wäre vorerst zu viel des guten.
Ich denke auch, aber danke dass du mir noch eine Alternative gezeigt hast.
Nochmal ein großes Dankeschön an alle Helfer!
Gruß ONeill
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Hallo!
Ja, das paßt. Allerdings kann man den Radius auch direkt ablesen: [mm] \vektor{\sin\phi \\ \cos\phi} [/mm] beschreibt einen Punkt auf dem Einheitskreis, wenn [mm] \phi [/mm] sich ändert, bekommst du damit alle Punkte des Einheitskreises. Der Faktor 5 bläht den Einheitskreis dann auf den Radius 5 auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Mi 07.11.2007 | | Autor: | ONeill |
Alles klar, vielen Dank!
Bin jetzt endlich mit der Aufgabe durch. 
Gruß ONeill
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