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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Fr 22.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | (i) Zeigen Sie für a, b, n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
ggT( [mm] n^{a} [/mm] - 1, [mm] n^{b} [/mm] - 1) = [mm] n^{ggT(a,b)} [/mm] -1.
(ii) Beweisen Sie:
1+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n} \not\in \IN [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
also bei der (i) weiß ich nicht wirklich wie ich vorgehen soll. ich bin mir nicht bewusst, welche regeln ich anwenden darf und wie ich das am besten umforme.
bei der (ii) habe ich ein widerspruchsbeweis angefertigt. also ich gehe davon aus dass
1+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n} \in \IN [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
setze ich nun für n=1 ein ist die annahme richtig, ab n=2 wird sie allerdings falsch. somit hätte ich einen widerspruch!
genügt das? oder ist das zu einfach?
danke für die antwort!
lg lenzlein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Fr 22.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 2. da hast du doch nur gesagt, dass die Beh für n=2 nicht gilt.Du sollst doch zeigen, dass es KEIN n >1 gibt, so dass das gilt.
Gruss leduart
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Hallo lenzlein,
für Aufgabe 1) reicht es, wenn Du die beiden Polynome faktorisieren kannst. Ein Teiler steht ja schon da. Du musst nur noch zeigen, dass es tatsächlich der ggT ist.
für Aufgabe 2) beachte leduarts Hinweis. Du weißt ja nicht, ob nicht gerade bei 1087 oder vielleicht bei [mm] 5*2^{13906} [/mm] die Summe doch eine natürliche Zahl ergibt. Hier wirst Du entweder eine allgemeine Summenformel brauchen oder in der Tat per Widerspruchsbeweis agieren müssen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 22.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
> Hallo lenzlein,
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> für Aufgabe 1) reicht es, wenn Du die beiden Polynome
> faktorisieren kannst. Ein Teiler steht ja schon da. Du
> musst nur noch zeigen, dass es tatsächlich der ggT ist.
in ordnung und wie zeig ich das? irgendwie steh ich auf schlauch...der ggT soll ja mein hinterer teil sein...dh beide polynome müssen durch ihn teilbar sein...aber da kann ich doch keinen euklidischen algorithmus anwenden oder?
>
> für Aufgabe 2) beachte leduarts Hinweis. Du weißt ja
> nicht, ob nicht gerade bei 1087 oder vielleicht bei
> [mm]5*2^{13906}[/mm] die Summe doch eine natürliche Zahl ergibt.
> Hier wirst Du entweder eine allgemeine Summenformel
> brauchen oder in der Tat per Widerspruchsbeweis agieren
> müssen.
und wie stell ich das an? ich bin im beweisen echt nich gut...mir fällt sowas leicht es nachzuvollziehen aber selber ne idee hab ich selten...bitte helft mir!
lg lenzlein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Fr 22.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> (i) Zeigen Sie für a, b, n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> ggT( [mm]n^{a}[/mm] - 1, [mm]n^{b}[/mm] - 1) = [mm]n^{ggT(a,b)}[/mm] -1.
Das kannst du machen, indem du den Euklidischen Algorithmus Schritt fuer Schritt durchgehst und schaust was passiert. Dir sollte da etwas auffallen, etwa dass [mm] $ggT(n^a [/mm] - 1, [mm] n^b [/mm] - 1) = [mm] ggT(n^b [/mm] - 1, [mm] n^t [/mm] - 1)$ fuer ein passendes $t$ ist. Was ist die Beziehung zwischen $a, b$ und $t$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 22.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
vielleicht das t a und b teilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Fr 22.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> vielleicht das t a und b teilt?
Nein.
Es hat etwas mit Division mit Rest zu tun.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Fr 22.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
hmh vielleicht ist es mein q aus a=qm + r
ich weiß nich ich kann mir das nich so vorstellen...und wenn ichs mit dem algorithmus durchgehe kommt eh nur salat raus...äh ich bin verzweifelt!!!!
lg lenzlein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Fr 22.10.2010 | | Autor: | abakus |
> hmh vielleicht ist es mein q aus a=qm + r
>
> ich weiß nich ich kann mir das nich so vorstellen...und
> wenn ichs mit dem algorithmus durchgehe kommt eh nur salat
> raus...äh ich bin verzweifelt!!!!
> lg lenzlein
Hallo,
kennst du nicht die Summenformel der geometrischen Reihe?
Daraus ergibt sich z.B.
[mm] \bruch{a^k-1}{a-1}=...
[/mm]
und ebenso
[mm] \bruch{(a^d)^k-1}{a^d-1}=...
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Sa 23.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
doch die geometrische reihe kenn ich
> Daraus ergibt sich z.B.
> [mm] \bruch{a^k-1}{a-1}=...[/mm]
[/mm]
> und ebenso
> [mm] \bruch{(a^d)^k-1}{a^d-1}=...[/mm]
[/mm]
> Gruß Abakus
na [mm] \bruch{a^k-1}{a-1}= \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
und dementsprechend
[mm] \bruch{(a^d)^k-1}{a^d-1}= \summe_{i=1}^{n} a^{d}_{i} [/mm] ?
und wie wende ich das jetzt an?
sorry ich bin gerade echt n bissl plemplem
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Sa 23.10.2010 | | Autor: | abakus |
> doch die geometrische reihe kenn ich
>
> > Daraus ergibt sich z.B.
> > [mm]\bruch{a^k-1}{a-1}=...[/mm][/mm]
> > und ebenso
> > [mm]\bruch{(a^d)^k-1}{a^d-1}=...[/mm][/mm]
> > Gruß Abakus
>
> na [mm]\bruch{a^k-1}{a-1}= \summe_{i=1}^{n} a_{i}[/mm]
Das bedeutet z.B., dass [mm] (a^k-1) [/mm] für beliebige natürliche k durch (a-1) teilbar ist (gemeinsame Teiler waren doch gesucht, oder?)
>
> und dementsprechend
> [mm]\bruch{(a^d)^k-1}{a^d-1}= \summe_{i=1}^{n} a^{d}_{i}[/mm] ?
Das bedeutet, dass [mm] (a^d)^k-1 [/mm] (für beliebige k [mm] \in \IN) [/mm] durch [mm] a^d-1 [/mm] teilbar ist.
> und wie wende ich das jetzt an?
> sorry ich bin gerade echt n bissl plemplem
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 So 24.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
ok ich glaub jetzt hab ichs kapiert...einmal drüber geschlafen und schon sieht das alles ganz anders aus =) danke!
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