"größe" einer komp. Zahl bes. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
der Titel passt nicht wirklich zur Frage, da ich nicht den Betrag bestimmen will.
Hier die Frage:
Wie finde ich alle z [mm] \in \IC [/mm] mit
[mm] (z+\frac{1}{z}) \in \IC\backslash(-\infty,0]
[/mm]
Wäre z reell, könnte man einfach [mm] z+\frac{1}{z}\le [/mm] 0 auflösen (also größer/ kleiner null-> daher der threadtitel). Wie macht man dies aber bei einer komplexen Zahl?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn [mm]z = a + bi[/mm] ist, dann ist [mm]\frac{1}{z} = \frac{a}{a^2+b^2} + \frac{-b}{a^2+b^2}i[/mm].
Jetzt einfach addieren und schauen wann der Realteil dieser Summe nichtpositiv und der Imaginärteil Null werden. Das ganze müsste recht hässliche Ungleichungen geben.
Und noch was... [mm]\IC \setminus (-\infty,0][/mm] ist schlecht hingeschrieben. Besser wäre [mm]\IC \setminus ((-\infty,0] \times \{0\})[/mm].
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Ich glaube, so schlimm, wie Merle befürchtet, ist es
gar nicht. Aus der Gleichung Imaginärteil(z+1/z)=0
folgt die Gleichung
[mm] b-\bruch{b}{a^2+b^2}=0
[/mm]
Man kann sie umformen zu:
[mm] (a^2+b^2-1)*b=0
[/mm]
Offensichtlich ist sie erfüllt für alle reellen Zahlen z
(wenn b=0) und ausserdem für die komplexen Zahlen
z=a+b*i mit [mm] a^2+b^2=1. [/mm] Dies sind gerade
alle komplexen Zahlen mit dem Betrag |z|=1.
Jetzt bleibt noch zu klären, welche der insgesamt
gefundenen Zahlen z (auf der reellen Achse oder
auf dem Einheitskreis) zu einem negativen Wert
der Summe z+1/z führen. Dies sind dann die
Zahlen, die nicht zur gesuchten Lösungsmenge
gehören.
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