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| Aufgabe | Fasse den Bruch als Grenzwert einer GR (=Geometrische Reihe) auf. Bestimme diesen Grenzwert nun auf 20 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau.
a) [mm] \bruch{1}{0.998} [/mm] |
Ich weiss einfach nicht genau was die wollen, bzw was ich ausrechnen soll!?
wie bestimme ich den diesen Grenzwert, den ich ja schon habe??
Bis jetzt habe ich den Bruch umgeformt:
[mm] \bruch{1}{0.998} [/mm] = [mm] \bruch{499}{500}
[/mm]
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> Fasse den Bruch als Grenzwert einer GR (=Geometrische
> Reihe) auf. Bestimme diesen Grenzwert nun auf 20 Stellen
> nach dem Dezimalpunkt genau.
>
> a) [mm]\bruch{1}{0.998}[/mm]
> Ich weiss einfach nicht genau was die wollen, bzw was ich
> ausrechnen soll!?
> wie bestimme ich den diesen Grenzwert, den ich ja schon
> habe??
>
hallo,
der grenzwert der geometrischen reihe ist doch
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q}
[/mm]
und damit rechnest du nun für k von 0 bis 4 den wert aus
> Bis jetzt habe ich den Bruch umgeformt:
>
> [mm]\bruch{1}{0.998}[/mm] = [mm]\bruch{499}{500}[/mm]
>
>
gruß tee
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Grenzwert s einer GR ist
s = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_{n}=\bruch{a_{1}}{1-q}
[/mm]
Wieso den Wert von 0 bis 4? Versteh ich nicht.
Gruss AlfG
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> Grenzwert s einer GR ist
> s = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_{n}=\bruch{a_{1}}{1-q}[/mm]
>
> Wieso den Wert von 0 bis 4? Versteh ich nicht.
sorry, ich meinte natürlich bis 7
[mm] \frac{1}{0,998}=\frac{1}{1-0,002}=\sum_{k=0}^{\infty}0,002^k
[/mm]
und jetzt rechnen
>
> Gruss AlfG
gruß tee
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aber wie kommst du auf 7? Ich versteh die Überlegung dahinter nicht.
Und wenn der Bruch, gemäss Aufgabe, ja schon der Grenzwert ist, Was gibt es da noch zu bestimmen.
Ich steh wirklich aufm Schlauch, hab ich das Gefühl. :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Sa 18.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Bruch ist der GW einer Reihe! 1/0.998 kannst du auf deinem TR nur etwa auf 10 Stellen berechnen. was machst du. wenn du 20 Stellen willst? wenn dein TR mehr kann was, wenn du 40 Stellen willst?
du nimmst die Summe aus [mm] 0.002^k= 2^k*10^{-3k}
[/mm]
wenn der Wert [mm] <10^{20} [/mm] ist kommen nur noch dahinter neue Stellen. [mm] 2^k [/mm] kannst du ohne TR, [mm] 10^{-3k} [/mm] auch. und jetzt nur noch überlegen, wann [mm] 2^k*10^{-3k}<10^{-20}
[/mm]
Gruss leduart
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Vielen Dank für deine Anwort!
löst man [mm] 2^{k}*10^{-3k}<10^{-20} [/mm] nach k,
so kommt k>7.401 raus.
Was ich aber nach wie vor nicht verstehe:
$ [mm] 0.002^k= 2^k\cdot{}10^{-3k} [/mm] $
wie rechne ich das?
muss ich hier [mm] 0.002^0+0.002^1+...+0.002^7 [/mm] * [mm] 10^{-3*0}+...+10^{-3*7}
[/mm]
[mm] (\summe_{k=0}^{7}=0.002^k [/mm] is klar wies geht)
und viel wichtiger: Wie ist die Überlegung, hier mit der Summe zu rechnen? Ist das per Definition oder wie kommt man auf diesen Rechenweg??
Ich hätte hier einfach 500/499, (triviale Division) so wie in der 6 Klasse, gerechnet. Komme so auch zum Ziel, nur ist der andere Weg der interessantere.
Gruss AlfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 So 19.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 1.0.002=2*10^{-3}
[/mm]
[mm] 2.(0.002)^k=(2*10^{-3})^k=2^k*10{-3k}
[/mm]
die Zweiwer potenzzen bis [mm] 2^{10} [/mm] kennen die meisten Leute auswendig!
du hast [mm] \summe_{k=0}^{n}2^k*10^{-3k} [/mm] zu berechnen. das ist viel schneller als deine schriftliche Division!
die Idee ist, dass man weiss
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}2^k*10^{-3k}=^/(1-0,02)=1/0.998
[/mm]
und man weiss, dass die summe konvergiert, d,h, wenn man die ersten 7 oder 8 Summanden berechnet hat, kennt man die Summe auf 20 Stellen genau. wenn du deine schriftliche Division machst musst du 20 mal durch 499 dividieren, die 499 multipl. und von dem vorigen abziehen.
bei der summe hast du nur die paar (8) 2er Potenzen zu addieren.
du hast also:
1 [mm] =2^0*10^0
[/mm]
0,002 [mm] =2^1*10^{-3}
[/mm]
0.000004
0.000000008
0.000000000016
0.000000000000032 [mm] =2^5*10^{-15}
[/mm]
-------------------
1,002004008016032
und schon 15 Stellen!
die letzen paar überlass ich dir!
hoffentlich siehst du jetzt wie gut und schnell das funktioniert!
wenn du die 3 er Potenzen kannst dann rechne genauso 1/9997
auf 20 stellen, das geht noch schneller!
gruss leduart
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Achsoo! Vielen Dank für die ausführliche Antwort!!
1/9997 ist auch eine Teilaufgabe in meinem Buch. :)
Gruss
AlfG
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nochmal ne Frage. Was ist jetzt zu tun, wenn ich als Grenzwert nicht [mm] \bruch{1}{1-0.9} [/mm] habe, sondern sowas wie [mm] \bruch{1000}{1-0.9}?
[/mm]
Gruss AlfG
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Hallo Alfred!
Das kannst Du doch ganz einfach zerlegen in:
[mm]\bruch{1000}{1-0{,}9} \ = \ 1000*\bruch{1}{1-0{,}9}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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das waere dann ja [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{10^{3}}{0.1^{k}}
[/mm]
dann müsste 1. [mm] \bruch{1000}{1-0.9} [/mm] = [mm] \bruch{1*10^3}{1*10^{-1}}
[/mm]
2. [mm] \bruch{(1*10^3)^k}{(1*10^{-1})^k}
[/mm]
dann wirds nicht mehr so einfach.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 20.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn dein Bsp nicht zu primitiv wäre, also die reihe sinnlos wei dein Bruch einen exakten Wert hat
dann würdest du bei 1000/-008 etwa wieder 1/0.998 rechnen und das ergebnis *1000 also einfach das Komma 3 stellen nach rechts. überlege, warum 1/0.1 kein geeignetesBeispiel ist, genausowenig wie 1000000/0,1!
Gruss leduart
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achso, 1/0.1 ist kein geeignets Beispiel, weil 0.1 dasselbe wie 1/(1/10) was einfach 10 ist.
Ich hatte eben in meinem Buch eine Aufgabe:
Eine GF beginnt mit [mm] a_{1} [/mm] = [mm] 10^6 [/mm] und hat den Quotienten 0.9. Eine zweite GF beginnt mit [mm] b_{1} [/mm] = 1000 und hat den Quotienten 0.9999. Betrachte die zu den beiden GF gehörenden GR. Welche hat den Grösseren Grenzwert?
Ich habe also für die GF mit [mm] a_{1} [/mm] = [mm] 10^6 [/mm] :
[mm] \bruch{10^6}{1-0.9}= 10^6 [/mm] * [mm] \bruch{1}{0.1}
[/mm]
dann, wie du es mir gezeigt hast.
1.: 0.1 = [mm] 1*10^{-1}
[/mm]
2.: [mm] 0.1^k [/mm] = [mm] 1^k*10^{-1k} (1^k [/mm] ist immer 1)
Also
[mm] 10^6 [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty}0.1^k [/mm] gerechnet.
dann kommt (nach obigem Rechenverfahren) 1.1 periodisch raus.
[mm] 1.111111111*10^6 [/mm] = 1'111'111.1 periodisch als GW.
für die GF mit [mm] b_{1} [/mm] = 1000:
[mm] \bruch{10^3}{1-0.9999}= 10^3 [/mm] * [mm] \bruch{1}{0.0001}
[/mm]
dann, wie du es mir gezeigt hast.
1.: 0.0001 = [mm] 1*10^{-4}
[/mm]
2.: [mm] 0.0001^k [/mm] = [mm] 1^k*10^{-4k} (1^k [/mm] ist immer 1)
Also
[mm] 10^3 [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty}0.0001^k [/mm] gerechnet.
dann kommt (nach obigem Rechenverfahren) 1.0001 periodisch raus.
1.00010001 [mm] *10^3=1000.10001 [/mm] periodisch als GW.
aber in diesem Fall ist die Rechnung wohl kompletter Unsinn?
Oder wie soll ich mir das überlegen?
Gruss AlfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Mi 29.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> nochmal ne Frage. Was ist jetzt zu tun, wenn ich als
> Grenzwert nicht [mm]\bruch{1}{1-0.9}[/mm] habe, sondern sowas wie
> [mm]\bruch{1000}{1-0.9}?[/mm]
Sorry, aber bei diesem Beispiel muss man doch
keine geometrische Reihe bemühen, denn
[mm]\bruch{1000}{1-0.9}\ =\ \bruch{1000}{0.1}\ =\ 10000[/mm]
LG
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Achsoo ich glaube ich habs kapiert!!
bei der GF mit [mm] a_{1}= 10^6 [/mm] und q=0.9
ist der GW [mm] \bruch{10^6}{0.1} [/mm] was äquivalent zu [mm] 10^1*10^6 [/mm] = [mm] 10^7 [/mm] ist.
und bei der zweiten GF mit [mm] a_{1}=10^3 [/mm] und q=0.0009
ist der GW [mm] \bruch{10^3}{0.0001} [/mm] was äquivalen zu [mm] 10^3*10^4 [/mm] = [mm] 10^7 [/mm] ist.
Daher sind beide GW's gleich gross.
Hab ichs jetzt raus :)
Gruss
AlfG
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> Achsoo ich glaube ich habs kapiert!!
>
> bei der GF mit [mm]a_{1}= 10^6[/mm] und q=0.9
>
> ist der GW [mm]\bruch{10^6}{0.1}[/mm] was äquivalent zu [mm]10^1*10^6[/mm] =
> [mm]10^7[/mm] ist.
>
> und bei der zweiten GF mit [mm]a_{1}=10^3[/mm] und q=0.0009
du meinst q=0.9999
> ist der GW [mm]\bruch{10^3}{0.0001}[/mm] was äquivalent zu [mm]10^3*10^4\ =\ 10^7[/mm] ist.
>
> Daher sind beide GW's gleich gross.
> Hab ichs jetzt raus :)
> Gruss
> AlfG
Ja.
Und ich verstehe jetzt deine Beispiele besser.
Im anfänglichen Beispiel, wo es darum ging, den Wert des
Bruches [mm] \frac{1}{0.998} [/mm] ohne Rechner auf 20 Dezimalen genau
zu berechnen, war es nützlich, eine geometrische Reihe
zu Hilfe zu nehmen. Um den Wert des Bruches [mm] \frac{1000}{1-0.9999}
[/mm]
zu berechnen, braucht man dagegen keine geometrische
Reihe. Falls aber umgekehrt schon eine geometrische Reihe,
nämlich
1000 + 999.9 + 999.80001 + 999.700029999 + ......
vorliegt, liefert eben gerade der Weg über die Summenformel
den einfachen Weg zur Berechnung der Summe aus den
unendlich vielen Summanden der Reihe.
LG Al-Chw.
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Vielen Dank!
Mit Grenzwerten, Summen und Produkten hab ich leider noch so meine Probleme.
Geht hoffentlich nach entsprechender Übung auch vorbei.
herzlich
AlfG
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