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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 So 31.01.2010 | | Autor: | MichaFCC |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{2}*(x^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}+ \bruch{1}{x^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}}))^n [/mm] |
hab es mit verschiedenen methoden versucht (abschätzungen nach oben/unten, summenschreibweise durch hauptnennerbildung, etc), kam aber leider nie zum erfolg.
Ich habe diese frage auf keiner anderen seite und in keinen anderen forum gepostet.
wäre für lösungsansätze sehr dankbar.
danke im vorraus.
mfg michafcc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 So 31.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Micha!
Kannst Du vielleicht noch etwas zu $x_$ verraten? Gibt es dort irgendwelche Einschränkungen, oder gilt $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 31.01.2010 | | Autor: | MichaFCC |
ups sry^^
die einzige bedingung ist, dass [mm] x\not=1 [/mm] ist, sonst beliebig aus [mm] \IR [/mm].
das mit dem e war auch eine meiner ideen, hab es aber nicht hinbekommen. ist auch glaube ich nicht der granzwert, habe mal ein paar summen (natürlich nur endlich) in den taschenrechner eingetippt, kam aber nicht e raus, sondern für jede zahl etwas anderes, was aber nah bei 1 lag (aber nicht soooo nah, dass ich sagen würde, 1 ist mit sicherheit der grenzwert),
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Hallo Michael,
> ups sry^^
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> die einzige bedingung ist, dass [mm]x\not=1[/mm] ist, sonst beliebig
> aus [mm]\IR [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
>
> das mit dem e war auch eine meiner ideen, hab es aber nicht
> hinbekommen. ist auch glaube ich nicht der granzwert, habe
> mal ein paar summen (natürlich nur endlich) in den
> taschenrechner eingetippt, kam aber nicht e raus, sondern
> für jede zahl etwas anderes, was aber nah bei 1 lag (aber
> nicht soooo nah, dass ich sagen würde, 1 ist mit
> sicherheit der grenzwert),
Halte dich an den Vorschlag mit der Substitution von Abakus.
Setze $k:=\frac{1}{\sqrt{n}}$, also $n=\frac{1}{k^2}$
Dann ist zu untersuchen $\lim\limits_{k\to 0}\left[\frac{1}{2}\cdot{}\left(x^k+\frac{1}{x^k}\right)\right]^{\frac{1}{k^2}$
Dass alles schön zusammenfassen ...
$=\lim\limits_{k\to 0}\left(\frac{x^{2k}+1}{2x^k}\right)^{\frac{1}{k^2}$
Nun benutze $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)$ für $a>0$:
$=\lim\limits_{k\to 0}e^{\frac{1}{k^2}\cdot{}\ln\left(\frac{x^{2k}+1}{2x^k}\right)}$
Denke an die Stetigkeit der e-Funktion, also $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$
Greife dir also den Exponenten heraus:
$\frac{1}{k^2}\cdot{}\ln\left(\frac{x^{2k}+1}{2x^k}\right)$
und untersuche, was der für $k\to 0$ treibt.
Das wird einen unbestimmten Ausdruck $\frac{0}{0}$ ergeben, also kannst du die Regel von de l'Hôpital anwenden.
Wenn ich das richtig sehe, sind insgesamt 2 oder 3 de l'Hôpitalkuren fällig ..
Also noch einiges an Rechnerei,.
Ich komme auf $\frac{\ln^2(x)}{2}$ als GW für den Exponenten (für $k\to 0$)
...
Bevor du wie wild geworden den $\ln$-Term ableitest, denke an die stadtbekannten Logarithmusgesetze und vereinfache ...
Hilft das?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 So 31.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Wenn ich den Ausdruck in meinem TI eingebe dann gibt das mir das hier:
[mm] 2^{-n} [/mm] * (2*cosh( [mm] \bruch{ln(x)}{\wurzel{n}} ))^{n}
[/mm]
das ist doch gleich cosh( [mm] \bruch{ln(x)}{\wurzel{n}} )^{n}
[/mm]
...bringt das auch was? wie kann man von hier den Grenzwert berechnen?
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:07 So 31.01.2010 | | Autor: | Helbig |
>
> Wenn ich das richtig sehe, sind insgesamt 2 oder 3 de
> l'Hôpitalkuren fällig ..
Zwei Kuren reichen.
>
> Also noch einiges an Rechnerei,.
>
> Ich komme auf [mm]\frac{\ln^2(x)}{2}[/mm] als GW für den Exponenten
> (für [mm]k\to 0[/mm])
Stimmt! Wāre ich alleine nie drauf gekommen! Danke für die prima Erlāuterung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Mo 01.02.2010 | | Autor: | MichaFCC |
riesen dank an euch für die rege beteiligung und die super lösung.
mfg michafcc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 So 31.01.2010 | | Autor: | Helbig |
> die einzige bedingung ist, dass [mm]x\not=1[/mm] ist, sonst beliebig
> aus [mm]\IR [/mm].
Ich denke $x$ muß positiv sein. Sonst ist doch [mm] $x^{\bruch {1} {\wurzel n}}$ [/mm] nicht definiert, jedenfalls nicht in meiner rein reellen Welt.
Für $x=1$ habe ich den GW ermittelt! Nāmlich 1.
Wenn $f(x)$ der Grenzwert ist, ist $f(1/x) = f(x)$, denn diese Beziehung gilt für die Folgenglieder.
>
> das mit dem e war auch eine meiner ideen, hab es aber nicht
> hinbekommen. ist auch glaube ich nicht der granzwert, habe
> mal ein paar summen (natürlich nur endlich) in den
> taschenrechner eingetippt, kam aber nicht e raus, sondern
> für jede zahl etwas anderes, was aber nah bei 1 lag (aber
> nicht soooo nah, dass ich sagen würde, 1 ist mit
> sicherheit der grenzwert),
Hmm. Ich wollte diese e-Geschichte auch nur verwenden, um die Monotonie für fast alle n zu zeigen und die Beschränktheit. Daraus kann man dann mindestens auf die Konvergenz schließen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 So 31.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{2}*(x^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}+ \bruch{1}{x^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}}))^n[/mm]
>
> hab es mit verschiedenen methoden versucht (abschätzungen
> nach oben/unten, summenschreibweise durch
> hauptnennerbildung, etc), kam aber leider nie zum erfolg.
Hallo, vielleicht hilft eine Substituion, z.B. [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}=k. [/mm] Dann läuft mit n gegen unendlich k gegen Null.
Das mit der Hauptnennerbildung kann man auch hier versuchen, eventuell in Verbindung mit L'Hospital
Gruß Abakus
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> Ich habe diese frage auf keiner anderen seite und in keinen
> anderen forum gepostet.
>
> wäre für lösungsansätze sehr dankbar.
>
> danke im vorraus.
>
> mfg michafcc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 So 31.01.2010 | | Autor: | Helbig |
Die Folge erinnert an [mm] $\bbigl(1+\bruch{1} [/mm] {n} [mm] \bbigr)^{n}$, [/mm] die streng monoton steigend gegen e strebt.
Leider komme ich nicht weiter. Aber ich habe jetzt soviel Zeit in die Aufgabe gesteckt, daß ich sehr an weiteren Lösungshinweisen interessiert bin.
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