grenzwertberechnung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] m_{T} [/mm] und die Tangentenfunktionen für f und [mm] P_{0}:
[/mm]
f: [mm] x\mapsto \bruch{1}{8}(6x^2-x^3); P_{0} (2;y_{0}) [/mm] |
der ansatz müsste folgendermaßen lauten:
[mm] m_{T} =\limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{f(x) - f(2)}{x-2} [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{\bruch{1}{8}(6x^2-x^3)-2}{x-2} [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{\bruch{3}{4}x^2-\bruch{1}{8}x^3 -2}{x-2} [/mm]
falls falsch, bitte ausbessern!!
doch wie kann ich jetzt den zähler MATHEMATISCH KORREKT umgestalten, dass keine brüche mehr drin sind und die polynomdivision einfacher ist..?
und wie berechne ich dann die Tangentenfunktion??
vielen dank im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie [mm]m_{T}[/mm] und die Tangentenfunktionen für f und
> [mm]P_{0}:[/mm]
>
> f: [mm]x\mapsto \bruch{1}{8}(6x^2-x^3); P_{0} (2;y_{0})[/mm]
> der
> ansatz müsste folgendermaßen lauten:
>
> [mm]m_{T} =\limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{f(x) - f(2)}{x-2}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{\bruch{1}{8}(6x^2-x^3)-2}{x-2}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{\bruch{3}{4}x^2-\bruch{1}{8}x^3 -2}{x-2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> falls falsch, bitte ausbessern!!
>
> doch wie kann ich jetzt den zähler MATHEMATISCH KORREKT
> umgestalten, dass keine brüche mehr drin sind und die
> polynomdivision einfacher ist..?
Du kannst rechnen praktisch die [mm] \bruch{1}{8} [/mm] aus dem Zähler ausklammern und dann mit Hilfe der Grenzwertsätze vor den Limes schreiben:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{\bruch{3}{4}x^2-\bruch{1}{8}x^3 -2}{x-2} = \limes_{x\rightarrow\ 2}\left(\bruch{1}{8}*\bruch{6x^2-x^3 -16}{x-2}\right) = \bruch{1}{8}*\limes_{x\rightarrow\ 2}\bruch{6x^2-x^3 -16}{x-2}[/mm]
Du musst aber aufpassen, dann nicht in der folgenden Rechnung die [mm] \bruch{1}{8} [/mm] zu vergessen!
Eine andere Möglichkeit besteht analog dazu darin, den Bruch mit 8 zu erweitern:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{\bruch{3}{4}x^2-\bruch{1}{8}x^3 -2}{x-2} = \limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{6x^2-x^3 -16}{8x-16}[/mm]
> und wie berechne ich dann die Tangentenfunktion??
Gesucht ist eine Geradengleichung der Form y = m*x + n.
Den Anstieg der Gerade an [mm] P_{0} [/mm] kennst du durch Berechnung des Limes an der Stelle x = 2 ja schon. Also ist m bekannt. Außerdem weißt du noch, dass deine Gerade durch den Punkt [mm] P_{0} [/mm] geht - weil sie ja dort an der Funktion anliegen soll. Die y-Koordinate des Punktes [mm] P_{0} [/mm] kannst du berechnen, denn der Punkt liegt ja auf der Funktion f(x) --> [mm] P_{0}(2|f(2)).
[/mm]
Wenn nun also die Gerade durch den Punkte geht, muss sie folgende Gleichung erfüllen:
y = m*x + n
f(2) = m*2 + n
Alles Variablen außer n kennst du schon - stelle nach n um und du hast die vollständige Geradengleichung.
Zusatzinfo:
Ich fände es nervig, die Steigung jedes mal über obigen Grenzwert mit Polynomdivision zu berechnen. Es gibt noch eine weitere Definition der Ableitung, bei der du nicht solche Kunststücke machen musst:
f'(x) = [mm] \lim_{h \rightarrow 0}\left(\bruch{f(x+h) - f(x)}{h}\right)
[/mm]
(Diese Definition ergibt sich auch sofort, wenn du oben statt x den Term x + h und statt a den Term x nimmst)
|
|
|
| |
|
vielen dank..
ableitungen kommen noch dran, aber danke für den hinweis!!
LG Clownie
|
|
|
|
