grenzwert (sinx+cox) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Fr 22.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo an alle..
hätte da ne frage....
wie berechne ich den grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x}*(sin(x)+cos(x)) [/mm]
e^(-x) is ja klar, nämlich 0, aber wie berchne ich den ausdruck in der klammer....denn sin(x) ist ja für x nach [mm] \infty [/mm] nicht definiert???
danke im voraus
mfg koko
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Hallo koko,
> hallo an alle..
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> hätte da ne frage....
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> wie berechne ich den grenzwert von
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x}*(sin(x)+cos(x))[/mm]
>
> e^(-x) is ja klar, nämlich 0, aber wie berchne ich den
> ausdruck in der klammer....denn sin(x) ist ja für x nach
> [mm]\infty[/mm] nicht definiert???
Die trigometrischen Funktionen [mm]\sin\left(x\right)[/mm] und [mm]\cos\left(x\right)[/mm] sind auf gant [mm]\IR[/mm] definiert.
Ausserdem sind [mm]\sin\left(x\right)[/mm] und [mm]\cos\left(x\right)[/mm] beschränkt:
[mm]\vmat{\sin\left(x\right)} \le 1[/mm] bzw. [mm]\vmat{\cos\left(x\right)} \le 1[/mm]
Damit kannst Du die Funktion abschätzen.
>
> danke im voraus
>
> mfg koko
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 22.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo...
zuerst mal danke
aber wie denn abschätzen, kann ich einfach sagen dass [mm] \vmat{\sin\left(x\right)} \le [/mm] 1 ist und deswegen es dann 0*1 heist, was wiederum 0 bedeutet.
aber da betrachtet man ja nur den betrag, weil ich dann
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}\cdot{}(sin(x)+cos(x)) [/mm] betrachte würd ich ja rauskriegen, [mm] \infty*1, [/mm] was
wiederum [mm] \infty [/mm] bedeuten würde, jedoch betrachte ich hier nur den betrag.....aber sinx kann ja auch minus werden.
kann man einfach nur so den betrag betrachten???
oder wie sollte man das abschätzen???
mfg koko
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Hallo!
Es gilt doch folgendes
$$0 [mm] \le \limes_{x\rightarrow\infty} |e^{-x}*(\sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x)| [mm] \le \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 2 * [mm] e^{-x} [/mm] = 0$$
Wir haben also den Betrag der Funktion nach oben und nach unten abgeschätzt. Damit kann der Betrag des Grenzwerts nur noch Null sein (Quetschlemma haben wir das immer genannt), und damit muss der Grenzwert selber Null sein.
Ich hoffe, der Groschen ist jetzt gefallen 
Gruß!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Fr 22.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo...
okey alles klar.....aber meine frage war ja eigentlich für x nach [mm] -\infty....denn [/mm] dann kann ich ja nicht mehr so abschätzen???
mfg koko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Fr 22.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo...
also ich check das irgendwie nicht ganz, weil du sagst ja dass
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}*(sin(x)+cos(x)) =\infty [/mm] ist.....aber der ausrduck in der klammer kann ja auch negative formen annhemen.....dann würde ja aber [mm] -\infty [/mm] rauskommen???
mfg koko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Fr 22.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, der GW existiert nicht, die Folge divergiert.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Fr 22.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Frage stellst du hier zum ersten Mal.
Antwort nächster post
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 23.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo nochmals....
also danke an die antworten zuvor.....
aber wie kann ich zeigen dass der grenzwert also
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}*(sin(x)+cos(x))=\infty [/mm] ist.
Denn [mm] x->-\infty [/mm] für [mm] e^{-x} [/mm] is ja klar....ist [mm] \infty... [/mm] dann
hab ich ja [mm] \infty [/mm] *(sin(x)+cos(x)).....und genau hier hab ich mein problem......denn der ausdruck in der klammer kann ja positiv werden mit max. 2 aber eben auch negativ......krieg ich dann wenn der audruck in der klammer negativ ist [mm] -\infty [/mm] raus??? eher wohl nicht....aber wieso nicht?
mir fehlt da einfach die begründung dafür
danke im voraus
mfg koko
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Hallo koko!
> aber wie kann ich zeigen dass der grenzwert also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}*(sin(x)+cos(x))=\infty[/mm]
> ist.
Das kannst du gar nicht zeigen. Wie leduart weiter oben schon gesagt hat, exisitert der Grenzwert überhaupt nicht.
> Denn [mm]x->-\infty[/mm] für [mm]e^{-x}[/mm] is ja klar....ist [mm]\infty...[/mm]
Richtig!
> hab ich ja [mm]\infty[/mm] *(sin(x)+cos(x)).....und genau hier hab
> ich mein problem......
So sollte man am besten gar nicht rechnen...
> denn der ausdruck in der klammer kann
> ja positiv werden mit max. 2 aber eben auch
> negativ......
Genau aus diesem Grund existiert der Grenzwert für $x [mm] \to -\infty$ [/mm] überhaupt nicht. Denn für jedes noch so kleine $x$ findest du Intervalle [mm] $I_1, I_2$ [/mm] mit $y < x, z < x\ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in I_1, [/mm] z [mm] \in I_2$, [/mm] sodass $sin(y) + cos(y) [mm] \ge [/mm] 0.5\ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in I_1$ [/mm] und $sin(z) + cos(z) [mm] \le [/mm] -0.5\ [mm] \forall [/mm] z [mm] \in I_2$, [/mm] also kann der Ausdruck nicht konvergieren, weil man für [mm] $\epsilon [/mm] = 0.5$ und beliebiges $c$ kein [mm] $x_0$ [/mm] finden kann, sodass $|f(x) - c| < [mm] \epsilon$ [/mm] für $x < [mm] x_0$. [/mm] Ganz ähnlich kann man uneigentliche Konvergenz ausschließen.
Vielleicht hilft dir ja ein bisschen Formualismus!
Anschaulich oszilliert die Funktion für sehr kleine $x$ immer stärker.
Gruß!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 23.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo
okey das is klar....
aber ich hab diese frage gestellt weil ich diese funktion auch zeichnen sollte......wenn du aber sagst sie konvergiert überhaupt nicht....und hat keinen grenzwert......ja wei zeichen ich dann die funktion für [mm] -\infty [/mm] ???
denn wenn ich es plotte sehe ich das sie gegen + unendlich geht.......??? wie ist das zu erklären???
mfg koko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Sa 23.02.2008 | | Autor: | abakus |
> hallo
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> okey das is klar....
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> aber ich hab diese frage gestellt weil ich diese funktion
> auch zeichnen sollte......wenn du aber sagst sie
> konvergiert überhaupt nicht....und hat keinen
> grenzwert......ja wei zeichen ich dann die funktion für
> [mm]-\infty[/mm] ???
>
> denn wenn ich es plotte sehe ich das sie gegen + unendlich
> geht.......??? wie ist das zu erklären???
>
> mfg koko
Da hast du sicher ein zu kleines Intervall geplottet. Die Funktion kann nicht (ausschließlich) gegen plus unendlich gehen, weil sie mit unerbittlicher Regelmäßigkeit im Abstand von [mm] 2*\pi [/mm] Nullstellen besitzt.
Viele Grüße
Abakus
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