grenzwert mit l'hospital < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Do 12.02.2004 | | Autor: | hanna |
guten abend!
ich habe mal ein frage (ja, die nächste klausur steht an).
und zwar wollte ich den grenzwert von [mm]lim _{x\rightarrow 0^{+}}{x}^{\tan(x)}[/mm] berechnen.
auf den ersten blick würde ich sagen, dass das ein fall für l'hospital ist, aber naja, da müsste ich doch einen bruch aus der funktion bilden.
und dann müssten der nenner und der zähler gegen den gleichen wert 0, [mm]\infty[/mm] oder -[mm]\infty[/mm] konvergieren, oder? ansonsten kann ich l'hospital nicht anwenden... verstehe ich so.
vllt versteh ich vor lauter lernen nichts mehr, aber ich komm einfach nicht darauf, wie ich das bei der funktion anstellen könnte...
könntet ihr mir vllt einen tipp geben?
das wäre sehr nett!
dann noch einen schönen abend!
gruß,
hanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Do 12.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Hanna,
mein spontaner Tipp lautet:
[mm]x^{\tan(x)} = e^{\tan(x) \cdot \ln(x)} = e^{\frac{\tan(x)}{\frac{1}{\ln(x)}}[/mm].
Versuche es jetzt mal mit de'Hospital im Exponenten...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Do 12.02.2004 | | Autor: | hanna |
danke, der tipp hat mir um einiges geholfen.
wenn ichs zeitlich schaffe, stell ich das ergebnis dann morgen rein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Fr 13.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hanna,
für die Nachwelt noch die Lösung:
Aus
[mm]\lim\limits_{x \downarrow 0} \left[ x\cdot |\ln(x)| \right] = + \infty[/mm]
folgt (erst recht):
[mm]\lim\limits_{x \downarrow 0} \left[ x\cdot (\ln(x))^2 \right] = + \infty[/mm]
und damit:
(*) [mm]\lim\limits_{x \downarrow 0} \left[ \frac{x\cdot (\ln(x))^2}{\cos^2(x)} \right] =+ \infty[/mm].
Wir erhalten daraus mit de l'Hospital und der Stetigkeit der Exponentialfunktion:
[mm]\lim\limits_{x \downarrow 0} e^{\frac{\tan(x)}{\left(\frac{1}{\ln(x)}\right)}}[/mm]
[mm]= e^{\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\tan(x)}{\left(\frac{1}{\ln(x)}\right)}}[/mm]
[mm]= e^{\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{\cos^2(x)} \right)}{-\left(\frac{1}{x(\ln(x))^2}\right)}}[/mm]
[mm]= e^{- \lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{x\cdot (\ln(x))^2}{\cos^2(x)}}[/mm]
[mm] \stackrel{(\*)}{=} 0 [/mm].
Liebe Grüße
Stefan
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