grenzwert messbarer funktionen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 Fr 22.10.2010 | | Autor: | ponyka87 |
hallo!
ich wollte nur wissen, wenn man abbildungen zwischen zwei beliebigen räumen (bei mir sinds genauergesagt polnische räume, mit der vollständigen metrik) betrachtet, ob dann das folgende gilt:
ist der grenzwert einer folge messbarer funktionen, welche punktweise konvergiert, messbar? vlt ist es noch wichtig hinzuzufügen, dass die folgenglieder jeweils stetig bzgl der vagen topologie sind und der messbare raum, in den ich abbilde ist mit der borelsigma-algebra versehen. der raum, aus dem ich abbilde hat eine sigma algebra, welche die borelsigma-algebra enthält.
mir ist klar, dass wenn ich nach [mm] \IR [/mm] oder [mm] \overline{\IR} [/mm] abbilden würde, alles in Ordnung wäre - jedoch auch in meinem Fall?
Vielen Dank für Eure Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Fr 22.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ja, der punktweise Limes messbarer Funktionen ist wieder messbar.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Fr 22.10.2010 | | Autor: | ponyka87 |
Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort!!
Wie kann man sich das kurz intuitiv überlegen?
Weil ich weiß ja zunächst, dass diese Folgenglieder sich als Grenzwert einfacher Funktionen darstellen lassen, also
[mm] f_n [/mm] = [mm] \lim_{k\rightarrow\infty} u_k^{n} [/mm] , wobei die u_^{n}'s einfache funktionen sind, das ^n um klar zu machen, dass es gerade zu [mm] f_n [/mm] gehört
und dann
[mm] f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{k\rightarrow\infty} u_k^{n}(x)
[/mm]
Ist dies dann auch wieder ein Grenzwert einfacher Funktionen oder stört mich der Doppellimes? Oder habe ich andere einfache Funktionen?
Vielen Dank nochmal!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Fr 22.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Den (einfachen) Beweis, dass der punktw. Grenzwert messbarer Funktione wieder messbar ist, findest Du in jedem Buch zur Maß - und Integrationstheorie
FRED
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