globale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich beschäftige mich momentan mit Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen, d.h. [mm]f:\IR^n\to\IR^m[/mm]. Über die Nullstelle des Gradienten, [mm]\nabla f(x)=0[/mm], erhalte ich kritische Stellen, für die ich dann mit der Definitheit der jeweiligen Hesse-Matrix [mm]H_f(x)[/mm] prüfen kann, ob es sich um eine lokale Maximum-/Minimumstelle handelt. Zu diesem Thema habe ich einige Fragen:
Wenn [mm]H_f(x)=0_{Mat}[/mm] also die Nullmatrix ist, kann ich keine klare Aussage über Max./Min. machen, da [mm]0_{Mat}[/mm] postiv und negativ semidefinit ist. Wie soll ich weiter vorgehen, um lok. Max./Min. zu zeigen?
Wenn ich nun zeigen will, dass ein globales Maximum-/Minimum vorliegt, kann ich dies mit dem Grenzwert (wie verhält sich die Fkt. im unendlichen) oder auf kompakten Mengen mit dem Satz vom Max./Min. zeigen. Welche Möglichkeiten hätte ich noch?
Ich freue mich auf eure Antworten.
MfG Herbart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Fr 28.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich beschäftige mich momentan mit Extremstellen von
> Funktionen mit mehreren Variablen, d.h. [mm]f:\IR^n\to\IR^m[/mm].
Du meinst wohl [mm]f:\IR^n\to\IR[/mm].
> Über die Nullstelle des Gradienten, [mm]\nabla f(x)=0[/mm], erhalte
> ich kritische Stellen, für die ich dann mit der
> Definitheit der jeweiligen Hesse-Matrix [mm]H_f(x)[/mm] prüfen
> kann, ob es sich um eine lokale Maximum-/Minimumstelle
> handelt. Zu diesem Thema habe ich einige Fragen:
>
> Wenn [mm]H_f(x)=0_{Mat}[/mm] also die Nullmatrix ist, kann ich keine
> klare Aussage über Max./Min. machen, da [mm]0_{Mat}[/mm] postiv und
> negativ semidefinit ist. Wie soll ich weiter vorgehen, um
> lok. Max./Min. zu zeigen?
Dafür gibts kein Kochrezept. Vorgehensweisen in diesem Fall sind abhängig von der konkreten Funktion.
> Wenn ich nun zeigen will, dass ein globales
> Maximum-/Minimum vorliegt, kann ich dies mit dem Grenzwert
> (wie verhält sich die Fkt. im unendlichen) oder auf
> kompakten Mengen mit dem Satz vom Max./Min. zeigen. Welche
> Möglichkeiten hätte ich noch?
Auch hierfür gibt es keine Kochrezepte.
FRED
> Ich freue mich auf eure Antworten.
>
>
> MfG Herbart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Herbart |
> Du meinst wohl [mm]f:\IR^n\to\IR[/mm].
Stimmt.
Ich habe allerdings noch eine Frage zum Beweis einer globalen Extremstelle mit Hilfe des Grenzwertes. Mir ist klar, dass man damit sehr gut zeigen kann, dass eine Extremstelle keine globale Extremstelle ist, wenn man z.B. für eine Fkt. [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] mit Maximumsstelle (2,0) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x,0)=\infty[/mm] zeigt. Ich hoffe man erkennt, was gemeint ist.
Wie kann ich aber mit dem Grenzwert zeigen, dass eine Fkt. ein globales Extremum hat?
Muss ich dazu den Grenzwert aller Achsen-Richtungen prüfen? Z.B. indem ich [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x,0)[/mm], [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}f(x,0)[/mm], [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}f(2,y)[/mm] und [mm]\limes_{y\rightarrow -\infty}f(2,y)[/mm] für obige Fkt. bilde?
Falls ich ein konkretes Beispiel nennen soll, kann ich dies gerne tun.
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Hallo,
> > Du meinst wohl [mm]f:\IR^n\to\IR[/mm].
> Stimmt.
>
> Ich habe allerdings noch eine Frage zum Beweis einer
> globalen Extremstelle mit Hilfe des Grenzwertes. Mir ist
> klar, dass man damit sehr gut zeigen kann, dass eine
> Extremstelle keine globale Extremstelle ist, wenn man z.B.
> für eine Fkt. [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] mit Maximumsstelle (2,0)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x,0)=\infty[/mm] zeigt. Ich hoffe
> man erkennt, was gemeint ist.
> Wie kann ich aber mit dem Grenzwert zeigen, dass eine Fkt.
> ein globales Extremum hat?
> Muss ich dazu den Grenzwert aller Achsen-Richtungen
> prüfen? Z.B. indem ich [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x,0)[/mm],
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}f(x,0)[/mm],
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}f(2,y)[/mm] und [mm]\limes_{y\rightarrow -\infty}f(2,y)[/mm]
> für obige Fkt. bilde?
> Falls ich ein konkretes Beispiel nennen soll, kann ich dies
> gerne tun.
Das wäre sehr hilfreich. Wie Fred schon sagte, es hängt einfach von Fall zu Fall ab.
Wer sagt dir denn auch, dass so ein globales Maximum/Minimum auf den Achsen liegen muss? Von daher ist das ja noch komplexer.
Auch wenn der Grenzwert gegen Null geht, kannst du dir nicht sicher sein, ob nicht im Innern deiner Betrachtungen irgendwo ein Maximum ist, oder nicht.
Vllt. können wir dir an einem Beispiel etwas mehr helfen.
Noch ein Wort zu den Extremstellen, wo die Hesse-Matrix Null ist. Hier musst du immer schauen, wie man an die Sache herangehen könnte. Eventll. Formel umschreiben oder einfach eine kleine Kugel um den Punkt legen, und schauen, wie sich die Werte verhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Herbart |
> Noch ein Wort zu den Extremstellen, wo die Hesse-Matrix
> Null ist. Hier musst du immer schauen, wie man an die Sache
> herangehen könnte. Eventll. Formel umschreiben oder
> einfach eine kleine Kugel um den Punkt legen, und schauen,
> wie sich die Werte verhalten.
>
Vielen Dank für den Tipp. Ich kann jeden Rat gebrauchen.
> Vllt. können wir dir an einem Beispiel etwas mehr helfen.
Hier ein Beispiel:
[mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=-2x^4-8x+xy-y^2+y[/mm] hat die lokale Maximumstelle bei [mm](-1,0)[/mm]. Ich will nun zeigen, dass es ein globales Max. ist. Ich hatte mir schon überlegt, ob man dies nicht irgendwie mit Polarkoordinaten [mm](x,y)=(t cos(\phi), t sin(\phi))[/mm] lösen kann und dann [mm]t\to\infty[/mm] laufen lässt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 So 30.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Noch ein Wort zu den Extremstellen, wo die Hesse-Matrix
> > Null ist. Hier musst du immer schauen, wie man an die Sache
> > herangehen könnte. Eventll. Formel umschreiben oder
> > einfach eine kleine Kugel um den Punkt legen, und schauen,
> > wie sich die Werte verhalten.
> >
> Vielen Dank für den Tipp. Ich kann jeden Rat gebrauchen.
>
> > Vllt. können wir dir an einem Beispiel etwas mehr helfen.
> Hier ein Beispiel:
> [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=-2x^4-8x+xy-y^2+y[/mm] hat die lokale
> Maximumstelle bei [mm](-1,0)[/mm]. Ich will nun zeigen, dass es ein
> globales Max. ist.
Das stimmt aber nicht ! Es ist f(-1,0)=6.
Wenn Du recht hättest, wäre f(x,y) [mm] \le [/mm] 6 für alle (x,y) [mm] \in \IR^2.
[/mm]
Es ist aber [mm] f(0,y)=y^2+y [/mm] >6 für saumäßig viele y.
Edit: obiges ist Unfug ! Ich hab ein Vorzeichen verschlampt.
FRED
> Ich hatte mir schon überlegt, ob man
> dies nicht irgendwie mit Polarkoordinaten [mm](x,y)=(t cos(\phi), t sin(\phi))[/mm]
> lösen kann und dann [mm]t\to\infty[/mm] laufen lässt.
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:24 So 30.06.2013 | | Autor: | Herbart |
> > Hier ein Beispiel:
> > [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=-2x^4-8x+xy-y^2+y[/mm] hat die
> lokale
> > Maximumstelle bei [mm](-1,0)[/mm]. Ich will nun zeigen, dass es ein
> > globales Max. ist.
> Das stimmt aber nicht ! Es ist f(-1,0)=6.
>
> Wenn Du recht hättest, wäre f(x,y) [mm]\le[/mm] 6 für alle (x,y)
> [mm]\in \IR^2.[/mm]
>
> Es ist aber [mm]f(0,y)=y^2+y[/mm] >6 für saumäßig viele y.
>
> FRED
Es tut mir Leid dich korrigieren zu müssen: "[mm]f(0,y)=y^2+y[/mm] >6 für saumäßig viele y." gilt zwar, aber das gehört nicht zur Aufgabe!
Es müsste lauten: [mm]f(0,y)=- y^2+y[/mm]
Und das ist, soweit ich sehe für alle Werte in [mm] \IR\backslash[0,1] [/mm] kleiner Null und für Werte in [0,1] kleiner 1, aber nie größer als 6.
Wie kann ich also zeigen, dass (-1,0) globale Maximumstelle ist?
MfG Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 So 30.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Hier ein Beispiel:
> > > [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=-2x^4-8x+xy-y^2+y[/mm] hat die
> > lokale
> > > Maximumstelle bei [mm](-1,0)[/mm]. Ich will nun zeigen, dass es ein
> > > globales Max. ist.
>
> > Das stimmt aber nicht ! Es ist f(-1,0)=6.
> >
> > Wenn Du recht hättest, wäre f(x,y) [mm]\le[/mm] 6 für alle (x,y)
> > [mm]\in \IR^2.[/mm]
> >
> > Es ist aber [mm]f(0,y)=y^2+y[/mm] >6 für saumäßig viele y.
> >
> > FRED
>
> Es tut mir Leid dich korrigieren zu müssen: "[mm]f(0,y)=y^2+y[/mm]
> >6 für saumäßig viele y." gilt zwar, aber das gehört
> nicht zur Aufgabe!
> Es müsste lauten: [mm]f(0,y)=- y^2+y[/mm]
Oh ! Pardon, da hab ich doch das Vorzeichen übersehen
FRED
> Und das ist, soweit ich
> sehe für alle Werte in [mm]\IR\backslash[0,1][/mm] kleiner Null und
> für Werte in [0,1] kleiner 1, aber nie größer als 6.
>
>
> Wie kann ich also zeigen, dass (-1,0) globale Maximumstelle
> ist?
>
> MfG Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 So 30.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Hast du denn einen Lösungshinweis für das vorliegende Problem?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 30.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu zeigen ist:
f(x,y) [mm] \le [/mm] 6 für alle (x,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
Idee: betrachte f auf jeder Gerade durch (-1,0)
1. Gerade x=-1: [mm] f(-1,y)=6-y^2 \le [/mm] 6.
2. Gerade y=t(x+1)
Diskutiere [mm] g_t(x):f(x,t(x+1)
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 30.06.2013 | | Autor: | Herbart |
> Zu zeigen ist:
>
> f(x,y) [mm]\le[/mm] 6 für alle (x,y) [mm]\in \IR^2[/mm]
>
> Idee: betrachte f auf jeder Gerade durch (-1,0)
>
> 1. Gerade x=-1: [mm]f(-1,y)=6-y^2 \le[/mm] 6.
>
> 2. Gerade y=t(x+1)
>
> Diskutiere [mm]g_t(x):f(x,t(x+1))[/mm]
>
> FRED
Danke für deinen Hinweis. Ich habe die 2. Gerade betrachtet und herausgefunden, dass [mm]g_t(x):f(x,t(x+1)[/mm] sein glob. Maximum auf x=-1 annimmt.
Warum wir aber vorher noch 1. Gerade x=-1: [mm]f(-1,y)=6-y^2 \le[/mm] 6. betrachten bleibt mir rätselhaft.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Mo 01.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Zu zeigen ist:
> >
> > f(x,y) [mm]\le[/mm] 6 für alle (x,y) [mm]\in \IR^2[/mm]
> >
> > Idee: betrachte f auf jeder Gerade durch (-1,0)
> >
> > 1. Gerade x=-1: [mm]f(-1,y)=6-y^2 \le[/mm] 6.
> >
> > 2. Gerade y=t(x+1)
> >
> > Diskutiere [mm]g_t(x):f(x,t(x+1))[/mm]
> >
> > FRED
>
> Danke für deinen Hinweis. Ich habe die 2. Gerade
> betrachtet und herausgefunden, dass [mm]g_t(x):f(x,t(x+1)[/mm] sein
> glob. Maximum auf x=-1 annimmt.
> Warum wir aber vorher noch 1. Gerade x=-1: [mm]f(-1,y)=6-y^2 \le[/mm]
> 6. betrachten bleibt mir rätselhaft.
Wenn Du alle (!) Geraden durch (-1,0) betrachtest, so gehört auch die Parallele zur y-Achse durch diesen Punkt dazu.
FRED
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> > Noch ein Wort zu den Extremstellen, wo die Hesse-Matrix
> > Null ist. Hier musst du immer schauen, wie man an die Sache
> > herangehen könnte. Eventll. Formel umschreiben oder
> > einfach eine kleine Kugel um den Punkt legen, und schauen,
> > wie sich die Werte verhalten.
> >
> Vielen Dank für den Tipp. Ich kann jeden Rat gebrauchen.
>
> > Vllt. können wir dir an einem Beispiel etwas mehr helfen.
> Hier ein Beispiel:
> [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=-2x^4-8x+xy-y^2+y[/mm] hat die lokale
> Maximumstelle bei [mm](-1,0)[/mm]. Ich will nun zeigen, dass es ein
> globales Max. ist. Ich hatte mir schon überlegt, ob man
> dies nicht irgendwie mit Polarkoordinaten [mm](x,y)=(t cos(\phi), t sin(\phi))[/mm]
> lösen kann und dann [mm]t\to\infty[/mm] laufen lässt.
>
Also das Verhalten der Funktion für (x,y) [mm] \to \infty [/mm] zu betrachten ist sicherlich manchmal eine Möglichkeit Globale Extrema zu bestimmen.
Versuche es doch mal bei dieser...
Gruß
Thomas
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