globaleMax/Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mo 12.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] f:\IR\to\IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 3x^2+2x, & \mbox{für } x\le1 \\ 8x-3, & \mbox{für }x>1 \end{cases}
[/mm]
Überprüfen Sie Differenzierbarkeit auf [mm] \IR, [/mm] lokale Extrema, Monotonieverhalten und ob es globale Min/Max gibt. Ist f zweimal differenzierbar auf [mm] \mathbb{R}? [/mm] |
Hallo,
Würde mich über Korrektur freuen;)
Die Differenzierbarkeit für x>1,x<1 ist klar als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen: [mm] (3x^2+2x)'=6x+2, [/mm] (8x-3)'=8
Für x=1: Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] x_n\to1(n\to\infty) [/mm] und [mm] x_n>1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8x_n-3-5}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8(x_n-1)}{x_n-1}=8
[/mm]
Sei [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] y_n\to1(n\to\infty)und y_n<1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(y_n)-f(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3y_n^2+2y_n-5}{y_n-1}
[/mm]
Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6y_n+2}{1}=8
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Linksseitige und Rechtsseitige Ableitung stimmen überein in x=1, also ist f differenzierbar.
Lokale Extrema
f'(x)=0 [mm] \iff \begin{cases}6x+2=0 &\Rightarrow L=\{-1/3\} \\ 8=0, & \Rightarrow L=\{\emptyset\} \end{cases}
[/mm]
f''(-1/3)=6*(-1/3)=-2<0
Bei x=-1/3 ist ein lokales Maximum
Monotonie
Für x>-1/3 ist f(x) streng monoton steigend
Für x<-1/2 ist f(x) streng monoton fallend
Für x=-1/3 haben wir eine horizintale Tangente
globale Max/Min:
Zähle ich hier die Randpunkt auch dazu?
Sonst hab ich ja nur ein lokales Max, was dann doch automatisch auch globales Max ist.
Differenzierbarkeit von f'(x):
f'(x) ist in x=1 nicht differenzierbar,da:
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] x_n\to1(n\to\infty)und x_n>1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(x_n)-f'(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6x_n+2-8}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6(x_n-1)}{x_n-1}=6
[/mm]
Sei [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] y_n\to1(n\to\infty) [/mm] und [mm] y_n<1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(y_n)-f'(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1}
[/mm]
Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{0}{1}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht überein.
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 12.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\IR\to\IR[/mm]
> [mm]f(x)=\begin{cases} 3x^2+2x, & \mbox{für } x\le1 \\ 8x-3, & \mbox{für }x>1 \end{cases}[/mm]
>
> Überprüfen Sie Differenzierbarkeit auf [mm]\IR,[/mm] lokale
> Extrema, Monotonieverhalten und ob es globale Min/Max gibt.
> Ist f zweimal differenzierbar auf [mm]\mathbb{R}?[/mm]
> Hallo,
> Würde mich über Korrektur freuen;)
>
> Die Differenzierbarkeit für x>1,x<1 ist klar als
> Verknüpfung differenzierbarer Funktionen: [mm](3x^2+2x)'=6x+2,[/mm]
> (8x-3)'=8
> Für x=1: Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in
> [mm]\mathbb{R}[/mm] mit [mm]x_n\to1(n\to\infty)[/mm] und [mm]x_n>1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8x_n-3-5}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8(x_n-1)}{x_n-1}=8[/mm]
>
> Sei [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]y_n\to1(n\to\infty)und y_n<1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(y_n)-f(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3y_n^2+2y_n-5}{y_n-1}[/mm]
>
> Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6y_n+2}{1}=8[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Linksseitige und Rechtsseitige Ableitung stimmen überein
> in x=1, also ist f differenzierbar.
O.K.
>
>
>
> Lokale Extrema
> f'(x)=0 [mm]\iff \begin{cases}6x+2=0 &\Rightarrow L=\{-1/3\} \\ 8=0, & \Rightarrow L=\{\emptyset\} \end{cases}[/mm]
>
> f''(-1/3)=6*(-1/3)=-2<0
das stimmt nicht. Es ist f''(-1/3)=6>0.
> Bei x=-1/3 ist ein lokales Maximum
>
>
> Monotonie
> Für x>-1/3 ist f(x) streng monoton steigend
> Für x<-1/2 ist f(x) streng monoton fallend
Da hast Du Dich sicher vertippt. Es lautet: Für x<-1/3 ....
> Für x=-1/3 haben wir eine horizintale Tangente
>
>
> globale Max/Min:
> Zähle ich hier die Randpunkt auch dazu?
Welche Randpunkte ? [mm] \IR [/mm] hat keine Randpunkte.
> Sonst hab ich ja nur ein lokales Max
Nein. Ein lokales Min.
> , was dann doch
> automatisch auch globales Max ist.
glabales Min.
>
>
> Differenzierbarkeit von f'(x):
> f'(x) ist in x=1 nicht differenzierbar,da:
> Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]x_n\to1(n\to\infty)und x_n>1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(x_n)-f'(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6x_n+2-8}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6(x_n-1)}{x_n-1}=6[/mm]
>
> Sei [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]y_n\to1(n\to\infty)[/mm] und [mm]y_n<1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(y_n)-f'(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1}[/mm]
>
> Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
Waaaaas ???? Für
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1}[/mm]
[/mm]
bemühst Du l'Hospital ? Nicht zu fassen !
Es ist [mm] \frac{8-8}{y_n-1} [/mm] =0 für alle n.
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{0}{1}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht
> überein.
O.K.
FRED
>
> LG,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Mo 12.01.2015 | | Autor: | sissile |
danke;)
lg, sissi
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