glob. Extremum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Fr 15.10.2010 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Für a<0 und b>0 sei
f(a,b) := [mm] \integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}
[/mm]
a) ber. die part. abl.
b)welche punkte (a,b) mit a<0 und b>0 kommen als Extrema in Frage?
c) Zeige, dass Hessematrix von f f.a. (a,b) mit a<0 und b>0 pos. definit ist
d) Hat die Funktion ein globales Extemum auf der Menge (a,b) mit a<0 und b>0? |
Hallo! Aufgabe a,b,c wurde gelöst und stimmte mit der Musterlösung überein, nur mit d hab ich ein verständnisproblem.
Also:
Dass f part. ableitbar ist hat man in a) schon gezeigt. f ist auch stetig.
Jetzt schreib ich einfach die "Lösung" und meine Fragen dazu her:
f1(a)= [mm] \integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}
[/mm]
[mm] f1(a)=F´(a)=-f(a)=-e^{a^{2}}+2=
[/mm]
<0, a<ao
=0, a=ao
>0, a>ao
-> [mm] \integral_{a}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}\ge \integral_{ao}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx} [/mm] für alle a<ao
für f(b) quasi analog:
f2(b)= [mm] \integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}
[/mm]
f2'(b)= [mm] e^{b^{2}}-2=
[/mm]
<0, b<b0
=0, b=bo
>0, b>bo
--> [mm] \integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}\le \integral_{0}^{bo}{(e^{x^{2}}-2) dx} [/mm] für alle b>0
f(a,b)= [mm] \integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}=\integral_{a}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}+\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}\ge\integral_{ao}^{bo}{(e^{x^{2}}-2) dx}= [/mm] (ao,bo) für alle (a,b) mit a<0 und b>0
Ich versuch jetzt schon ewig rum, hab mir alle definitionen dazu rausgeschrieben und kriegs trotzdem nicht gebacken... will mir vill wer die schritte kurz erklären und mir sagen was wir letztendlich damit gezeigt haben?
Danke, ich bin echt fertig mit den nerven wegen der Aufgabe^^ <3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Fr 15.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Für a<0 und b>0 sei
> f(a,b) := [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> a) ber. die
> part. abl.
> b)welche punkte (a,b) mit a<0 und b>0 kommen als Extrema
> in Frage?
> c) Zeige, dass Hessematrix von f f.a. (a,b) mit a<0 und
> b>0 pos. definit ist
> d) Hat die Funktion ein globales Extemum auf der Menge
> (a,b) mit a<0 und b>0?
>
> Hallo! Aufgabe a,b,c wurde gelöst und stimmte mit der
> Musterlösung überein, nur mit d hab ich ein
> verständnisproblem.
Na, dann mache dir mal klar, was
f(a,b) := [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm] bedeutet.
Dahinter stecken "vorzeichenbehaftete Flächeninhalte".
Die Funktion
[mm] g(x)=e^{x^{2}}-2 [/mm] ist achsensymmetrisch, die Funktionswerte sind größtenteils positiv, nur das "-2" zieht einen Teil des Graphen ins Negative.
Die Frage nach globalen Extrema bedeutet also: gibt es Grenzen a und b so, dass der "Flächeninhalt" so negativ wie möglich (glob. Minimum) oder so positiv wie möglich (glob. Maximum) wird?
Das globale Minimum wird erreicht, wenn f(a,b) := [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm] gerade die gesamte Fläche ausdrücht, die im negativen Bereich liegt. (Wie sind a und b dann zu wählen?)
Ein glob. Maximum des Flächeninhalts kann es nicht geben. Zu jeder festen Grenze b kann man einen noch größeren Inhalt finden, indem man eben diese Grenze b noch weiter nach rechts schiebt.
Gruß Abakus
> Also:
> Dass f part. ableitbar ist hat man in a) schon gezeigt. f
> ist auch stetig.
> Jetzt schreib ich einfach die "Lösung" und meine Fragen
> dazu her:
>
> f1(a)= [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
>
> [mm]f1(a)=F´(a)=-f(a)=-e^{a^{2}}+2=[/mm]
> <0, a<ao
> =0, a=ao
> >0, a>ao
> -> [mm]\integral_{a}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}\ge \integral_{ao}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> für alle a<ao
>
> für f(b) quasi analog:
>
> f2(b)= [mm]\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> f2'(b)=
> [mm]e^{b^{2}}-2=[/mm]
> <0, b<b0
> =0, b=bo
> >0, b>bo
> --> [mm]\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}\le \integral_{0}^{bo}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> für alle b>0
>
> f(a,b)= [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}=\integral_{a}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}+\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}\ge\integral_{ao}^{bo}{(e^{x^{2}}-2) dx}=[/mm]
> (ao,bo) für alle (a,b) mit a<0 und b>0
>
> Ich versuch jetzt schon ewig rum, hab mir alle definitionen
> dazu rausgeschrieben und kriegs trotzdem nicht gebacken...
> will mir vill wer die schritte kurz erklären und mir sagen
> was wir letztendlich damit gezeigt haben?
> Danke, ich bin echt fertig mit den nerven wegen der
> Aufgabe^^ <3
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Sa 16.10.2010 | | Autor: | perl |
> > Für a<0 und b>0 sei
> > f(a,b) := [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> > a) ber.
> die
> > part. abl.
> > b)welche punkte (a,b) mit a<0 und b>0 kommen als
> Extrema
> > in Frage?
> > c) Zeige, dass Hessematrix von f f.a. (a,b) mit a<0 und
> > b>0 pos. definit ist
> > d) Hat die Funktion ein globales Extemum auf der Menge
> > (a,b) mit a<0 und b>0?
> >
> > Hallo! Aufgabe a,b,c wurde gelöst und stimmte mit der
> > Musterlösung überein, nur mit d hab ich ein
> > verständnisproblem.
> Na, dann mache dir mal klar, was
> f(a,b) := [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm] bedeutet.
> Dahinter stecken "vorzeichenbehaftete Flächeninhalte".
> Die Funktion
> [mm]g(x)=e^{x^{2}}-2[/mm] ist achsensymmetrisch, die Funktionswerte
> sind größtenteils positiv, nur das "-2" zieht einen Teil
> des Graphen ins Negative.
> Die Frage nach globalen Extrema bedeutet also: gibt es
> Grenzen a und b so, dass der "Flächeninhalt" so negativ
> wie möglich (glob. Minimum) oder so positiv wie möglich
> (glob. Maximum) wird?
> Das globale Minimum wird erreicht, wenn f(a,b) :=
> [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm] gerade die gesamte
> Fläche ausdrücht, die im negativen Bereich liegt. (Wie
> sind a und b dann zu wählen?)
> Ein glob. Maximum des Flächeninhalts kann es nicht geben.
> Zu jeder festen Grenze b kann man einen noch größeren
> Inhalt finden, indem man eben diese Grenze b noch weiter
> nach rechts schiebt.
> Gruß Abakus
ok danke, ich versuch einfach mal damit meinen verstehensfortschritt herzuschreiben:
> > Also:
> > Dass f part. ableitbar ist hat man in a) schon gezeigt.
> f
> > ist auch stetig.
> > Jetzt schreib ich einfach die "Lösung" und meine Fragen
> > dazu her:
> >
> > f1(a)= [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
wir bezeichnen also das integral als f1(a). da das integral ja quasi die stammfunkion ist. Mit F´(x)= f(b)-f(a) ist mir zwar klar warum im folgenden -f(a) steht aber nicht warum f1(a) jetzt dann die abgeleitete Stammfunktion F´(a) ist.
> >
> > [mm]f1(a)=F´(a)=-f(a)=-e^{a^{2}}+2=[/mm]
> > <0, a<ao
> > =0, a=ao
> > >0, a>ao
> > -> [mm]\integral_{a}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}\ge \integral_{ao}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> > für alle a<ao
> >
hier komm ich einfach nicht drauf woher das ao auf einmal kommt. natürlich muss man sich einen wert ao oder dann bo suchen um zeigen zu können dass es einen wert gibt der minimal ist oder dass es einen wert gibt der immer größer ist. aber wie bekomme ich die abhängigkeiten von ao-a und bo-b? hat man das hier so gemacht?
[mm] -e^{a^{2}}+2=-e^{ao^{2}}+2
[/mm]
[mm] -e^{a^{2}}+2 [/mm] + [mm] e^{ao^{2}}+2 [/mm] = ...
damit kann ich jetzt die aussagen über a und ao zeigen!(?)
> > für f(b) quasi analog:
> >
> > f2(b)= [mm]\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> > f2'(b)=
> > [mm]e^{b^{2}}-2=[/mm]
> > <0, b<b0
> > =0, b=bo
> > >0, b>bo
> > --> [mm]\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}\le \integral_{0}^{bo}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> > für alle b>0
> >
> > f(a,b)= [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}=\integral_{a}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}+\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}\ge\integral_{ao}^{bo}{(e^{x^{2}}-2) dx}=[/mm]
> > (ao,bo) für alle (a,b) mit a<0 und b>0
> >
> > Ich versuch jetzt schon ewig rum, hab mir alle definitionen
> > dazu rausgeschrieben und kriegs trotzdem nicht gebacken...
> > will mir vill wer die schritte kurz erklären und mir sagen
> > was wir letztendlich damit gezeigt haben?
> > Danke, ich bin echt fertig mit den nerven wegen der
> > Aufgabe^^ <3
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 16.10.2010 | | Autor: | abakus |
> > > Für a<0 und b>0 sei
> > > f(a,b) := [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> > > a)
> ber.
> > die
> > > part. abl.
> > > b)welche punkte (a,b) mit a<0 und b>0 kommen als
> > Extrema
> > > in Frage?
> > > c) Zeige, dass Hessematrix von f f.a. (a,b) mit a<0
> und
> > > b>0 pos. definit ist
> > > d) Hat die Funktion ein globales Extemum auf der
> Menge
> > > (a,b) mit a<0 und b>0?
> > >
> > > Hallo! Aufgabe a,b,c wurde gelöst und stimmte mit der
> > > Musterlösung überein, nur mit d hab ich ein
> > > verständnisproblem.
> > Na, dann mache dir mal klar, was
> > f(a,b) := [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> bedeutet.
> > Dahinter stecken "vorzeichenbehaftete
> Flächeninhalte".
> > Die Funktion
> > [mm]g(x)=e^{x^{2}}-2[/mm] ist achsensymmetrisch, die
> Funktionswerte
> > sind größtenteils positiv, nur das "-2" zieht einen Teil
> > des Graphen ins Negative.
> > Die Frage nach globalen Extrema bedeutet also: gibt es
> > Grenzen a und b so, dass der "Flächeninhalt" so negativ
> > wie möglich (glob. Minimum) oder so positiv wie möglich
> > (glob. Maximum) wird?
> > Das globale Minimum wird erreicht, wenn f(a,b) :=
> > [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm] gerade die gesamte
> > Fläche ausdrücht, die im negativen Bereich liegt. (Wie
> > sind a und b dann zu wählen?)
> > Ein glob. Maximum des Flächeninhalts kann es nicht
> geben.
> > Zu jeder festen Grenze b kann man einen noch größeren
> > Inhalt finden, indem man eben diese Grenze b noch weiter
> > nach rechts schiebt.
> > Gruß Abakus
> ok danke, ich versuch einfach mal damit meinen
> verstehensfortschritt herzuschreiben:
> > > Also:
> > > Dass f part. ableitbar ist hat man in a) schon
> gezeigt.
> > f
> > > ist auch stetig.
> > > Jetzt schreib ich einfach die "Lösung" und meine Fragen
> > > dazu her:
> > >
> > > f1(a)= [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> wir
> bezeichnen also das integral als f1(a). da das integral ja
> quasi die stammfunkion ist. Mit F´(x)= f(b)-f(a) ist mir
> zwar klar warum im folgenden -f(a) steht aber nicht warum
> f1(a) jetzt dann die abgeleitete Stammfunktion F´(a) ist.
> > >
> > > [mm]f1(a)=F´(a)=-f(a)=-e^{a^{2}}+2=[/mm]
> > > <0, a<ao
> > > =0, a=ao
> > > >0, a>ao
> > > -> [mm]\integral_{a}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}\ge \integral_{ao}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> > > für alle a<ao
> > >
> hier komm ich einfach nicht drauf woher das ao auf einmal
Sollte damit die linke Nullstelle von [mm] e^{x^{2}}-2 [/mm] gemeint sein?
Gruß Abakus
> kommt. natürlich muss man sich einen wert ao oder dann bo
> suchen um zeigen zu können dass es einen wert gibt der
> minimal ist oder dass es einen wert gibt der immer größer
> ist. aber wie bekomme ich die abhängigkeiten von ao-a und
> bo-b? hat man das hier so gemacht?
> [mm]-e^{a^{2}}+2=-e^{ao^{2}}+2[/mm]
> [mm]-e^{a^{2}}+2[/mm] + [mm]e^{ao^{2}}+2[/mm] = ...
> damit kann ich jetzt die aussagen über a und ao
> zeigen!(?)
>
> > > für f(b) quasi analog:
> > >
> > > f2(b)= [mm]\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> > >
> f2'(b)=
> > > [mm]e^{b^{2}}-2=[/mm]
> > > <0, b<b0
> > > =0, b=bo
> > > >0, b>bo
> > > --> [mm]\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}\le \integral_{0}^{bo}{(e^{x^{2}}-2) dx}[/mm]
> > > für alle b>0
> > >
> > > f(a,b)= [mm]\integral_{a}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}=\integral_{a}^{0}{(e^{x^{2}}-2) dx}+\integral_{0}^{b}{(e^{x^{2}}-2) dx}\ge\integral_{ao}^{bo}{(e^{x^{2}}-2) dx}=[/mm]
> > > (ao,bo) für alle (a,b) mit a<0 und b>0
> > >
> > > Ich versuch jetzt schon ewig rum, hab mir alle definitionen
> > > dazu rausgeschrieben und kriegs trotzdem nicht gebacken...
> > > will mir vill wer die schritte kurz erklären und mir sagen
> > > was wir letztendlich damit gezeigt haben?
> > > Danke, ich bin echt fertig mit den nerven wegen der
> > > Aufgabe^^ <3
> >
>
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