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| Aufgabe | Bestimmen sie alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit
$a) |3x+1| [mm] \le [/mm] |2x|$
$b) 2|x-1|=2-2|x|$ |
a)
1.Fall
$3x+1 [mm] \ge [/mm] 0$
$3x+1 [mm] \le [/mm] |2x|$
Fall
1.1
$3x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw x\ge -\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $2x\ge [/mm] 0 [mm] \gdw x\ge [/mm] 0$
$3x+1 [mm] \le [/mm] 2x [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1$
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
Fall 1.2
$3x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw x\ge -\frac{1}{3}$
[/mm]
$2x < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 0$
$3x+1 [mm] \le [/mm] -2x [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge -\frac{1}{5}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow -\frac{1}{3} \le [/mm] x < 0$
Fall
2 :
3x+1 < 0
$ -3x-1 [mm] \le [/mm] |2x|$
2.1
$3x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < [mm] -\frac{1}{3}$
[/mm]
$2x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0$
$ -3x-1 [mm] \le [/mm] 2x [mm] \gdw [/mm] x > [mm] -\frac{1}{5} [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] widerspruch zwischen x < [mm] -\frac{1}{3} [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 0
2.2
$3x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < [mm] -\frac{1}{3}$
[/mm]
$2x < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 0$
$ -3x-1 [mm] \le [/mm] -2x [mm] \gdw [/mm] x > -1 $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] -1< x < [mm] -\frac{1}{3}
[/mm]
daraus folgt : -1 < x < 0 für diese x gilt die ungleichung
b)
1. Fall
[mm] $x-1\ge [/mm] 0$
$2(x-1)=2-2|x|$
$1.1$
[mm] $x-1\ge [/mm] 0$
$2x [mm] \ge [/mm] 0$
$2(x-1)=2-2x$
[mm] $\Rightarrow x\ge [/mm] 0 $ oder $x =2$
$1.2$
[mm] $x-1\ge [/mm] 0$
$2x < 0$
$2(x-1)=2+2x$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] widerspruch letzte gleich $0=4 $
fall 2
$x-1< 0$
$2(-x+1)=2-2|x|$
$2.1$
$x-1< 0$
$2x [mm] \ge [/mm] 0$
$2(-x+1)=2-2x$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x <1$
$2.2$
$x-1< 0$
$2x < 0$
$2(-x+1)=2+2x$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x =0 oder x <1$
daraus folgt die lösungsmenge beträgt $ [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2$
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
schreibe mal etwas mehr dazu.
> Bestimmen sie alle [mm]x \in \IR[/mm] mit
>
> [mm]a) |3x+1| \le |2x|[/mm]
Das ist übrigens keine Gleichung, sondern eine Ungleichung. ^^
> [mm]b) 2|x-1|=2-2|x|[/mm]
> a)
>
> 1.Fall
>
> [mm]3x+1 \ge 0[/mm]
Sei also [mm] $x\,$ [/mm] mit $3x+1 [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Um die zur Ausgangsungleichung hier äquivalente Ungleichung
> [mm]3x+1 \le |2x|[/mm]
in diesem Fall zu untersuchen, untergliedern wir den Fall weiter:
> Fall
>
> 1.1
Wir bemerken zunächst
> [mm]3x+1 \ge 0 \gdw x\ge -\frac{1}{3}[/mm],
und im Fall 1.1 nehmen wir an:
> [mm]2x\ge 0 \gdw x\ge 0[/mm]
Hier ist also $|3x+1| [mm] \le [/mm] |2x|$ gleichwertig mit
> [mm]3x+1 \le 2x \gdw x \ge -1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] -1
Du meinst am Ende und in der Zeile davor $x [mm] \red{\,\le\,}-1$.
[/mm]
Ich ergänze mal:
[mm] $\IL_{\text{Fall 1.1}}=[-1/3,\infty) \cap [0,\infty) \cap (-\infty,-1]=\varnothing$
[/mm]
> Fall 1.2
>
> [mm]3x+1 \ge 0 \gdw x\ge -\frac{1}{3}[/mm]
>
> [mm]2x < 0 \gdw x < 0[/mm]
>
> [mm]3x+1 \le -2x \gdw x \ge -\frac{1}{5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -\frac{1}{3} \le x < 0[/mm]
Das ist falsch: Für $x [mm] \ge [/mm] -1/3$ und $x < 0$ gilt doch
[mm] $|3x+1|\le|2x|$ $\iff$ [/mm] $x [mm] \red{\,\le\,} -1/5\,,$
[/mm]
und damit wird
[mm] $\IL_{\text{Fall 1.2}}=[-1/3,\infty) \cap (-\infty,0] \cap (-\infty,-1/5]=[-1/3,-1/5]\,.$
[/mm]
> Fall 2 :
> 3x+1 < 0
>
> [mm]-3x-1 \le |2x|[/mm]
Auch hier: Schreibe einfach mal mehr dazu. Im Fall 2 nehmen wir $x < [mm] -1/3\,$ [/mm] an.
Um dann [mm] $|3x+1|\le|2x|$ $\iff$ [/mm] $-3x-1 [mm] \le [/mm] |2x|$ zu untersuchen, unterteilen wir
diesen Fall 2 in 2 weitere Unterfälle.
Fall
> 2.1
Neben
> [mm]3x+1 < 0 \gdw x < -\frac{1}{3}[/mm]
sei $x [mm] \ge [/mm] 0$ (und damit $|2x|=2x$). Dann ist
$|3x+1| [mm] \le [/mm] |2x|$
äquivalent zu
>
> [mm]-3x-1 \le 2x \gdw x > -\frac{1}{5} [/mm]
Rechts gehört $x [mm] \red{\,\ge\,} [/mm] -1/5$ hin!
> [mm]\Rightarrow[/mm] widerspruch zwischen x < [mm]-\frac{1}{3}[/mm] und x
> [mm]\ge[/mm] 0
Ja, oder anders gesagt: [mm] $\IL_{\text{Fall 2.1}}=(-\infty,-1/3) \cap [-1/5,\infty) \cap [0,\infty)=\varnothing$.
[/mm]
> 2.2
Den Fall kannst Du nun mal selber sauberer ausformulieren.
> [mm]3x+1 < 0 \gdw x < -\frac{1}{3}[/mm]
>
> [mm]2x < 0 \gdw x < 0[/mm]
>
> [mm]-3x-1 \le -2x \gdw x > -1 [/mm]
Da ist eine Diskrepanz: rechts meinst Du sicher $x [mm] \red{\,\ge\,}-1$.
[/mm]
> $ [mm]\Rightarrow[/mm] -1< x < [mm]-\frac{1}{3}[/mm]
Also [mm] $\IL_{\text{Fall 2.2}}=(-\infty,-1/3) \cap (-\infty,0) \cap [-1,\infty)=[-1,-1/3)\,.$
[/mm]
>
>
>
>
> daraus folgt : -1 < x < 0 für diese x gilt die
> ungleichung
Ich sehe vielmehr
[mm] $\IL=\IL_{\text{Fall 1.1}} \cup \IL_{\text{Fall 1.2}} \cup \IL_{\text{Fall 2.1}} \cup \IL_{\text{Fall 2.2}}=\varnothing \cup [/mm] [-1/3,-1/5] [mm] \cup \varnothing \cup [-1,-1/3)=[-1,\,-1/3) \cup [-1/3,\,-1/5]=[-1,\,-1/5]\,.$
[/mm]
Testen wir das mal auf anderem Wege: Da bei
(*) $|3x+1| [mm] \;\le\;|2x|$
[/mm]
beide Seiten nichtnegativ sind, ist (unter Beachtung von [mm] $|r|^2=r^2$ [/mm] für $r [mm] \in \IR$) [/mm] die
Ungleichung äquivalent zu
[mm] $(3x+1)^2 \le (2x)^2\,.$
[/mm]
Also
(*) [mm] $\iff$ $9x^2+6x+1 \le 4x^2 \iff 5x^2+6x+1\;\le\;0$
[/mm]
Überzeuge Dich, dass [mm] $5x^2+6x+1=5*(x+1)*(x+1/5)$ [/mm] gilt, und Dir wird sicher schnell
klar sein, dass die letzte Ungleichung genau für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit
[mm] $-1\,\le\,x\,\le\,-1/5$
[/mm]
gilt - das kann man sich sogar sehr schön veranschaulichen!
Merkst Du übrigens, dass dieser Weg hier wesentlich effizienter ist, sofern
man sich denn ein wenig mit pq-Formel, quadratischer Ergänzung bzw.
*Parabeln im allgemeinen* auskennt?
> b)
>
> 1. Fall
> [mm]x-1\ge 0[/mm]
>
> [mm]2(x-1)=2-2|x|[/mm]
>
>
> [mm]1.1[/mm]
>
> [mm]x-1\ge 0[/mm]
> [mm]2x \ge 0[/mm]
> [mm]2(x-1)=2-2x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x\ge 0[/mm] oder [mm]x =2[/mm]
>
> [mm]1.2[/mm]
>
> [mm]x-1\ge 0[/mm]
> [mm]2x < 0[/mm]
> [mm]2(x-1)=2+2x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] widerspruch letzte gleich [mm]0=4[/mm]
>
> fall 2
>
> [mm]x-1< 0[/mm]
>
> [mm]2(-x+1)=2-2|x|[/mm]
>
> [mm]2.1[/mm]
>
> [mm]x-1< 0[/mm]
> [mm]2x \ge 0[/mm]
> [mm]2(-x+1)=2-2x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x <1[/mm]
>
>
> [mm]2.2[/mm]
>
> [mm]x-1< 0[/mm]
> [mm]2x < 0[/mm]
> [mm]2(-x+1)=2+2x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x =0 oder x <1[/mm]
>
> daraus folgt die lösungsmenge beträgt [mm]0\le x \le 2[/mm]
Na, eine Lösungsmenge "ist gleich" und nicht *beträgt* etwas....
Ich rechne jetzt die Aufgabe b) mal selbst:
(**) [mm] $2|x-1|=2-2|x|\,.$
[/mm]
Fall 1: Sei $x [mm] \ge 1\,,$ [/mm] dann ist $2|x-1|=2x-2$ wegen $x-1 [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Fall 1.1: Sei (neben $x [mm] \ge [/mm] 1$ zudem) $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann ist (**) gleichwertig mit
$2*(x-1)=2-2x$ [mm] $\iff$ [/mm] $2x-2=2-2x$ [mm] $\iff$ [/mm] ... [mm] $\iff$ $x=1\,.$ [/mm] (Beachte [mm] $x=1\iff [/mm] x [mm] \in \{1\}$.)
[/mm]
Es ist also
[mm] $\IL_{\text{Fall 1.1}}=\overbrace{[1,\infty) \cap [0,\infty)}^{\text{wegen Voraussetzungen an }x \text{ für diesen Fall}} \cap \overbrace{\{1\}}^{\glqq \text{wegen Rechenergebnis}{\grqq}}=\{1\}\,.$
[/mm]
(Das, was bei Dir steht:
> $ [mm] \Rightarrow x\ge [/mm] 0 $ oder $ x =2 $
kann ich nicht nachvollziehen.)
Jetzt schreibe ich mal alles etwas kürzer:
Fall 1.2: Sei $x [mm] \ge [/mm] 1$ und $x < [mm] 0\,.$ [/mm] --> Abbruch, denn solche x gibt es nicht!
(Nebenbei: Am Ende würde man vielleicht
[mm] $\IL_{\text{Fall 1.2}}=[1,\infty) \cap (-\infty,0) \cap [/mm] irgendwas=...$
stehen haben, und dann sieht man auch, dass [mm] $[1,\infty) \cap (-\infty,0) =\varnothing$ [/mm] gilt!)
Fall 2: $x < [mm] 1\,.$
[/mm]
Unterfall 2.1: $x < [mm] 1\,$ [/mm] und $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann ist (**) gleichwertig mit
[mm] $-2x+2=2-2*x\,$ $\iff$ [/mm] $2=2$ [mm] $\iff$ $0=0\,.$
[/mm]
[mm] $\IL_{\text{Fall 2.2}}=...=[0,1)\,.$
[/mm]
Unterfall 2.2: $x < [mm] 1\,$ [/mm] und $x < [mm] 0\,.$ [/mm] Dann ist (**) gleichwertig mit
[mm] $-2x+2=2-2*(-x)\,$ $\iff$ [/mm] $4x=0$ [mm] $\iff$ $x=0\,.$
[/mm]
[mm] $\IL_{\text{Fall 2.2}}=...=\varnothing\,.$
[/mm]
Insgesamt
(**) gilt genau für alle reellen $x [mm] \in \IL=\IL_{\text{Fall 1.1}} \cup \IL_{\text{Fall 1.2}} \cup \IL_{\text{Fall 2.1}} \cup \IL_{\text{Fall 2.2}}=...=\{1\} \cup [0,1)=[0,1]\,.$
[/mm]
P.S. Zeichne Dir auch mal die Graphen von
$x [mm] \mapsto 2*|x-1|\,$
[/mm]
und
$x [mm] \mapsto [/mm] 2-2*|x|$
etwa auf [mm] $[-3,3]\,.$ [/mm] Dan siehst Du auch schön, dass mein Ergebnis passt, und Deines
nicht so ganz.
P.S. Verschreiber und Vertipper und kleine Verrechner kann ich natürlich auch
bei meiner Rechnung nicht ausschließen. Falls jemanden sowas auffällt,
wäre ein Hinweis dahingehend toll. ^^
Gruß,
Marcel
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