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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo nochmal!
Ich soll folgende Gleichung lösen :
[mm] \bruch{k-1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{k-2}{k} [/mm] + .... + [mm] \bruch{1}{k} [/mm] = 3 ( k Element aus N )
In der Uni haben wir nun zuerst die Differenz der ersten beiden Glieder berechnet, sprich das 1. Glied vom 2. subtrahiert.
Dann erhalte ich [mm] \bruch{-1}{k} [/mm] . ( in der Uni wurde diese Differenz als d bezeichnet! )
So und nun soll es mir mithilfe dises d irgendwie möglich sein mein k zu berechnen.
Kann mir jemand sagen wie das gehen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Palin |
Hi ich schätz mal ich hab eine anderen Lösungsweg als du Benutzen sollst:
aber was bei dir steht ist nichts anderes als:
[mm] \summe_{i=1}^{k-1} [/mm] i/k = 3 = [mm] \integral_{1}^{k-1} [/mm] {i/k di}
wenn du nun die Integrations grenzen änders =>
[mm] \integral_{1}^{k} [/mm] {i/k+1 di} = 3
=> 1/2 [mm] k^2/(k+1) [/mm] - 1/2 1/(k+1) = 3
Wenn ich das Auflöse bekomme ich für k=6
nach zurücksetzen der Int.grenzen => k=7
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Mit integrationsgrenzen haben wir noch gar nicht gearbeitet :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Palin |
Ich muß gestehen für den Anderen Weg habe ich so keine lösung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Habe die gleichung nun auf einem anderen weg gelöst und auch 6 raus.
-1 war auch eine mögliche lösung bei mir die aber nicht zutrifft da k aus den natürlichen zahlen sein muss :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Palin |
Hi kannst du mal deinen Lösungweg schreiben, würd mich halt interessieren da ich mir grad in der hinsicht den Kopf heiß gegrübelt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Ich muß zugeben, der Weg mit diesem $d_$ ist mir nicht ganz klar ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ...
Aber eine Lösung, die ähnlich zur oben genannten hätte ich im Angebot:
[mm] $\bruch{k-1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{k-2}{k} [/mm] + [mm] \bruch{k-3}{k} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{k} [/mm] \ = \ 3$
[mm] $\bruch{(k-1) + (k-2) + (k-3) + ... + 2 + 1}{k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 + 2 + ... + (k-2) + (k-1)}{k} [/mm] \ = \ 3$
Nun haben wir im Zähler ja die Summe der ersten $k-1_$ natürlichen Zahlen stehen.
Und hier gilt ja folgende Formel: [mm] $\summe_{i=1}^{n}i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}$
[/mm]
Angewandt auf unsere Aufgabe heißt das: [mm] $\summe_{i=1}^{k-1}i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(k-1)*[(k-1)+1]}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k*(k-1)}{2}$
[/mm]
Dieses setzen wir nun in unseren o.g. Bruch ein:
[mm] $\bruch{1 + 2 + ... + (k-2) + (k-1)}{k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{k-1}i}{k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{k*(k-1)}{2}}{k} [/mm] \ = \ 3$
Nun kürzen und nach $k_$ umstellen, und schon hast Du als Ergebnis die mehrfach erwähnte Lösung mit $k \ =\ 7$.
Gruß
Loddar
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Guten Abend, alle miteinander!
Der Weg mit dem d ähnelt euren Vorschlägen.
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> [mm]\bruch{k-1}{k} + \bruch{k-2}{k} + \bruch{k-3}{k} + ... + \bruch{1}{k} \ = \ 3[/mm]
[mm] \bruch{k-1}{k} [/mm] = 1 + d
[mm] \bruch{k-2}{k} [/mm] = 1 +2d
[mm] \bruch{k-3}{k} [/mm] = 1 +3d
....
Also lässt sich dein Term folgendermaßen schreiben:
[mm] \summe_{i=1}^{k-1} [/mm] 1 + i*d = 3
d * [mm] \summe_{i=1}^{k-1} [/mm] i = 3 - (k-1)
und hier verwenden wir wieder die Formel, die Loddar schon angewedet hat:
[mm] \bruch{-(k-1)k}{2k}=4-k
[/mm]
1-k=8-2k
k=7
Gruß Tran
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