gleichmäßige konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 19.01.2008 | | Autor: | lachesis |
| Aufgabe | sei f: [a,b] -> C, eine Folge stetiger Funktionen [mm] f_n [/mm] : [a,b] -> C mit [mm] f_n [/mm] -> gleichmäßig. Sei weiterhin [mm] (x_n) [/mm] in [a,b] mit [mm] x_n [/mm] -> x. Zeigen sie, dass dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n) [/mm] = f(x). |
Hallo,
irgendwie ist die Aufgabe schon klar, leider habe ich keine Ahnung, wie das mathematisch korrekt zeigen kann. Ich habe hier ja eine Verknüpfung von einer glm. konv. stetigen Fktfolge mit einer konvergenten fktfolge. Das diese konvergiert ist anschaulichklar, aber mit welchen Sätzen kann ich das auch zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> sei f: [a,b] -> C, eine Folge stetiger Funktionen [mm]f_n[/mm] :
> [a,b] -> C mit [mm]f_n\rightarrow f[/mm] gleichmäßig. Sei weiterhin [mm](x_n)[/mm] in
> [a,b] mit [mm]x_n \rightarrow x[/mm]. Zeigen sie, dass dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n)= f(x)[/mm].
> Hallo,
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> irgendwie ist die Aufgabe schon klar, leider habe ich keine
> Ahnung, wie das mathematisch korrekt zeigen kann. Ich habe
> hier ja eine Verknüpfung von einer glm. konv. stetigen
> Fktfolge mit einer konvergenten fktfolge. Das diese
> konvergiert ist anschaulich klar, aber mit welchen Sätzen
> kann ich das auch zeigen?
Ich würde mich an Deiner Stelle einfach mal entlang der Definition von [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x_n)=f(x)$ [/mm] vorarbeiten. Du müsstest also zu jedem vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] finden können, so dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt: [mm] $|f_n(x_n)-f(x)|<\varepsilon$.
[/mm]
Vielleicht hilft Dir folgende Abschätzung des fraglichen Betrages, ein solches [mm] $n_0$ [/mm] zu finden:
[mm]|f_n(x_n)-f(x)|=|(f_n(x_n)-f(x_n))+(f(x_n)-f(x))|\leq |f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|[/mm]
von der rechten Seite dieser Ungleichung müsstest Du also zeigen können, dass sie [mm] $<\varepsilon$ [/mm] ist, für alle [mm] $n>n_0$. [/mm] Gleichmässige Konvergenz der [mm] $f_n\rightarrow [/mm] f$ erlaubt, den ersten Betrag kleiner als [mm] $\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] zu machen, Stetigkeit der Grenzfunktion $f$ und [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x$ [/mm] erlaubt den zweiten Betrag kleiner als [mm] $\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] zu machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Sa 19.01.2008 | | Autor: | lachesis |
Vielen Dank für die Hilfe!
Damit hab ich die Aufgabe wunderbar lösen können 
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