gleichmässige Stetigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Sa 01.10.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag
Ich überlege an einem Beweis, der sehr einfach erscheint, ich bin aber nicht ganz schlüssig darüber. Wenn ich z.B. eine stetige Funktion auf $\ [mm] \IR [/mm] $ betrachte, welche in unendlich verschwindet, d.h.
$\ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exist [/mm] K [mm] \mbox{kompakt so dass} [/mm] $ der betrag vonder stetigen funktion ausserhalb von $\ K$ kleiner $\ [mm] \epsilon [/mm] $ ist .
Wieso sind diese funktionen gleichmässig stetig?
Grüsse
f12
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Sa 01.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
schreib doch mal die Def. von glm. stetig auf und dann finde ein [mm] \delta [/mm] unabh. von x. wenn f(x)<r für x>a
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 So 02.10.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Morgen
> hallo
> schreib doch mal die Def. von glm. stetig auf und dann
> finde ein [mm]\delta[/mm] unabh. von x. wenn f(x)<r für x>a
> Gruss leduart
>
was ist bei dir $\ r , a $ ?
Naja die Definition von glm. Stetigkeit ist mir durchaus bewusst:
$\ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] ,\exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x,y : |x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon [/mm] $
Wenn ich eine solche kompakte Teilmenge $\ K $ von $\ [mm] \IR [/mm] $ habe, dann weiss ja sicherlich z.B., dass die Einschränkung von $\ f $ auf $\ K $ gleichmässig stetig ist.
Mein Problem ist, irgendwie sehe ich nicht ein, wieso dieses $\ [mm] \delta [/mm] $ nicht von der Stelle $\ x $ abhängt!
Gruss
f12
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 So 02.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ein beschränktes gebiet hast, nimmst du einfach das [mm] min(\delta9 [/mm] in dem Gebiet. und wenn ein a existiert mit x>a [mm] f(x)<\epsilon [/mm] ist dann findest du doch sicher ein [mm] \delta [/mm] unabh. von x!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 02.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Die Einschränkung von $f$ auf $K$ ist ja schon mal glm. stetig.
Wähle nun $K$ in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$ [/mm] groß genug.
OK?
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 So 02.10.2011 | | Autor: | f12 |
Es ist mir echt peinlich, aber ich blick da nicht ganz durch:
Ich muss ja ein $\ [mm] \delta [/mm] $ unabhängig von der Wahl meiner Stelle $\ x $ wählen. Wenn $\ x [mm] \in [/mm] K $, dann muss das $\ [mm] \delta$ [/mm] so klein sein, "dass ich nicht aus" $\ K $ hinaus falle. Ich muss eine $\ [mm] \delta$ [/mm] - Umgebung haben, die ganz in K ist. Wenn $\ x [mm] \not\in [/mm] K $, dann muss ich eine $\ [mm] \delta [/mm] $-Umgebung finden, so dass alle Punkte in dieser $\ [mm] \delta [/mm] $-Umgebung nicht $\ K $ schneidet. Bitte entschuldigt, wenn ich mir hier völlig blöd anstelle, aber ich seh es wirklich nicht, wie ich jetzt das so wählen soll, dass es nicht mehr vom Ort abhängt!
Gruss
f12
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 So 02.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
nein, so muss das nicht seinn! wähle K so gross dass in ganz K dasselbe minimal /delta gilt, ausserhalb dasselbe, dann auch in der Vereinigung.
konkret : [mm] K=[0,a(\epsilon)] [/mm]
[mm] a(\epsilon) [/mm] ist so gewählt, dass f(x) für x>a </epsilon
jetzw wähle in K dein [mm] \delta=min(\delta(x) [/mm] für [mm] x\le [/mm] a)
kommst du dann hin?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 02.10.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag leduart
Ich danke dir für deine Geduld:
Also, sei $\ [mm] \epsilon [/mm] > 0 $ gegeben.
Dann definiere ich nach deiner Auffassung: $\ [mm] K=[-a(\epsilon),a(\epsilon)] [/mm] $ so dass $\ |f(x)| < [mm] \epsilon \forall x\not\in [/mm] K$.
Nun glaube ich, meinst du folgendes: Da $\ f $ auf $\ K $ gleichmässig stetig ist, wähle ich das dazugehörige $\ [mm] \delta [/mm] $.
Sei nun $\ x [mm] \in [/mm] X $. Nun gibt es folgende Fälle.
1: $\ y [mm] \in (x-\delta,x+\delta [/mm] ) [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \epsilon [/mm] $.
2: $\ [mm] (x-\delta,x+\delta) \subset [/mm] K $, hier ist alles kalr.
3: $\ [mm] (x-\delta, [/mm] x [mm] +\delta [/mm] ) [mm] \cap [/mm] K [mm] \not= \emptyset [/mm] $. Hier hänge ich mich aber wieder auf.
Nochmals danke für dein Geduld und Hilfe
Gruss
f12
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 02.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie groß ist denn [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] in deinem [mm] \ (x-\delta, x +\delta ) \cap K \not= \emptyset [/mm]
wenn du etwa has [mm] f(a)<\epsilon/2
[/mm]
Gruss leduart<a-x>
</a-x>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 03.10.2011 | | Autor: | f12 |
Hallo leduart
> Hallo
> wie groß ist denn [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] in deinem [mm]\ (x-\delta, x +\delta ) \cap K \not= \emptyset[/mm]
>
> wenn du etwa has [mm]f(a)<\epsilon/2[/mm]
> Gruss leduart<a-x>
> </a-x>
Ist dein a der Endpunkt des Intervalls? Wenn ja, dann würde folgen:
$\ [mm] |f(x)-f(x_0)| \le [/mm] |f(x)-f(a)| + [mm] |f(a)-f(x_0)| \le \epsilon [/mm] + 2 [mm] \epsilon$.
[/mm]
Also glm. Stetig. Stimmt dieser Beweis?
Gruss
f12
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 03.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
ja
aber warum 2 [mm] \epsilon, [/mm] mach das gleich klein genug!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Mo 03.10.2011 | | Autor: | f12 |
das spielt ja keine Rolle. Ausserdem müsste ich ja hier $ [mm] \bruch{\epsilon}{3}$ [/mm] nehmen. Danke für deine Geduld!!
Liebe Grüsse
f12
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