gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Endscheide ob die Funktion
[mm] f:\IR\to\IR,x\to\bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
gleichmäßig stetig ist. |
Die Bedeutung von Stetigkeit kann ich mir bildlich vorstellen. Auch die gleichmäßige Stetigkeit kann ich mir vorstellen. Laut Wiki bedeutet gleichmäßige Stetigkeit folgendes:
"Unabhängig von den Punkten muss der Abstand der Funktionswerte kleiner als ein vorgegebenes ε sein."
Demnach ist Beispielsweise die Funktion [mm] x^2 [/mm] zwar stetig, nicht aber gleichmäig stetig. In einer Formel ausgedrückt heißt gleichmäßige Stetigkeit:
"Eine Abbildung [mm] f:D\to\IR [/mm] heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn [mm] \forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in D:\,|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] "
Welche Werte müsste ich denn jetzt für x und [mm] x_0 [/mm] einsetzen und was ist mein ε ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Mi 04.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Die Frage ist nicht, was [mm] \epsilon [/mm] ist, weil das gibst du beliebig vor.
Frag dich lieber, was das [mm] \delta [/mm] ist (was von [mm] \epsilon [/mm] abhängt).
Wenn du so ein [mm] \delta [/mm] für jedes x und [mm] x_0 [/mm] fndest, dann ist das gleichmäßig stetig.
|
|
|
| |
|
> Endscheide ob die Funktion
>
> [mm]f:\IR\to\IR,x\to\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
> gleichmäßig stetig ist.
> "Eine Abbildung [mm]f:D\to\IR[/mm] heißt gleichmäßig stetig genau
> dann, wenn [mm]\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in D:\,|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
Hallo,
im Gegensatz zur Stetigkeit ist hier das zu [mm] \varepsilon [/mm] gehörige [mm] \delta [/mm] nicht von der betrachteten Stellen [mm] x_0 [/mm] abhängig, sondern dieses [mm] \delta [/mm] "funktioniert" auf dem gesamten Definitionsbereich.
Zur Lösung der Aufgabe:
Hattet Ihr, daß aus der Beschränktheit der Ableitung die glm Stetigkeit folgt? Damit würde ich die Aufgabe lösen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke für die Hinweise.
Leider weiß ich nicht was man unter "Beschränkung der Ableitung" verstehen soll. Google spuckt dazu nicht viel aus.
|
|
|
| |
|
> Leider weiß ich nicht was man unter "Beschränkung der
> Ableitung" verstehen soll. Google spuckt dazu nicht viel
> aus.
es sollte besser heissen "Beschränktheit der Ableitung"
siehe  beschränkt !
LG
|
|
|
| |
|
Also wenn ich das richtig verstanden habe, kommt man hier mit der Lipschitzbedingung weiter. Diese beweist ja die Stetigkeit auf einem beschränkten Intervall.
Soweit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn ich das richtig verstanden habe, kommt man hier
> mit der Lipschitzbedingung weiter. Diese beweist ja die
> Stetigkeit auf einem beschränkten Intervall.
> Soweit richtig?
Na ja .
Wie Angela schon angedeutet hat:
mit Hilfe des Mittelwersatzes kannst Du zeigen, dass f auf [mm] \IR [/mm] Lipschitzstetig ist.
Damit ist f auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig.
FRED
|
|
|
| |
|
Gut, dann versuche ich mich mal dran:
Für [mm] f:\IR\to\IR,x\to\bruch{1}{1+x^2} [/mm] gilt
[mm] f(x)=\bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
[mm] \Leftarrow
[/mm]
[mm] |f(x)-|f(y)|=|\bruch{1}{1+x^2}-\bruch{1}{1+y^2}|
[/mm]
Hier weiß ich leider nicht mehr weiter. Soll man das ganze jetzt gegen unendlich laufen lassen?
|
|
|
| |
|
> Gut, dann versuche ich mich mal dran:
>
>
> Für [mm]f:\IR\to\IR,x\to\bruch{1}{1+x^2}[/mm] gilt
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> [mm]|f(x)-|f(y)|=|\bruch{1}{1+x^2}-\bruch{1}{1+y^2}|[/mm]
>
> Hier weiß ich leider nicht mehr weiter. Soll man das ganze
> jetzt gegen unendlich laufen lassen?
Hallo,
nein, davon steht doch nichts in der Definition, die Du selbst angegeben hast.
Du mußt erstmal sagen: sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Dann mußt Du ein dazu passendes [mm] \delta [/mm] angeben, von welchem Du vorrechnest, daß, sofern x und y nicht weiter als [mm] \delta [/mm] auseinanderliegen, [mm] |f(x)-f(y)|\varepsilon [/mm] ist.
ich frage mich allerdings, warum Du das nicht mit der Beschränktheit der Ableitung versuchst. Mir fiele das leichter.
Gruß v. Angela
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für deine Antwort,
> ich frage mich allerdings, warum Du das nicht mit der
> Beschränktheit der Ableitung versuchst. Mir fiele das
> leichter.
ich führe die Berechnung gleichmäßiger Stetigkeit nicht mit beschränkten Ableitungen durch, da ich nicht weiß, was ich bei solch einer Berechnung machen muss. Da das Lipschitzkriterium für mich aber nur verwirrend ist, würde ich dich bitten, mir zu erklären, was bei solch einer berechnugn zu tun ist. Ableiten kann ich, das ganze auf beschränkte Art und Weise zu tun fällt mir schwer ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Beschränktheit der Ableitung bedeutet einfach: f' ist auf ihrem Def. _Bereich beschränkt.
Hier: $f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}$. [/mm] Dann ist $ f'(x) = [mm] \bruch{-2x}{(1+x^2)^2}$.
[/mm]
Nun gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow\pm \infty}|f'(x)| [/mm] = 0
Damit ist $f'$ auf [mm] \IR [/mm] beschränkt, es gibt also ein C>0 mit: $|f'(x)| [mm] \le [/mm] C$ für jedes x in [mm] \IR.
[/mm]
Seien a und b in [mm] \IR [/mm] . Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $s$ zwischen a und b, so dass
$|f(b)-f(a)| = |b-a| |f'(s)|$,
also
$|f(b)-f(a)| [mm] \le [/mm] C|b-a|$
Damit ist f auf [mm] \IR [/mm] Lipschitzstetig und somit auch gleichmäßig stetig.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für die Erläuterungen, ich habe allerdings noch einige Fragen:
1. Beschränktheit bedeutet auch, dass eine Funktion einen Grenzwert besitzt. Stimmt das?
2. In deiner Berechnung kommst du zu folgendem Ergebnis
> [mm]|f(b)-f(a)| = |b-a| |f'(s)|[/mm],
>
> also
>
> [mm]|f(b)-f(a)| \le C|b-a|[/mm]
Du hast für f'(s)=C eingesetzt und du ersetzt das Gleichheitszeichen durch ein Größergleichzeichen. Wie begründest du dieses Vorgehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Erläuterungen, ich habe allerdings noch
> einige Fragen:
>
> 1. Beschränktheit bedeutet auch, dass eine Funktion einen
> Grenzwert besitzt. Stimmt das?
Nein, einen Grenwert muß sie nicht haben. Beschränktheit einer Funktion g :D --> [mm] \IR [/mm] bedeutet:
es ex. ein C >0 mit: |g(x)| [mm] \le [/mm] C für jedes x in D
Zum Beispiel ist der Sinus beschränkt auf [mm] \IR [/mm] hat aber keinen Grenzwert für x--> [mm] \pm \infty
[/mm]
>
> 2. In deiner Berechnung kommst du zu folgendem Ergebnis
>
> > [mm]|f(b)-f(a)| = |b-a| |f'(s)|[/mm],
> >
> > also
> >
> > [mm]|f(b)-f(a)| \le C|b-a|[/mm]
>
> Du hast für f'(s)=C eingesetzt und du ersetzt das
> Gleichheitszeichen durch ein Größergleichzeichen. Wie
> begründest du dieses Vorgehen?
>
in meinen obigen Ausführungen habe ich Dir doch gezeigt, dass $f'$ auf [mm] \IR [/mm] beschränkt ist, also ex ein C>0 mit:
$|f'(x)| [mm] \le [/mm] C$ für jedes x in [mm] \IR.
[/mm]
Dann gilt natürlich auch: $|f'(s)| [mm] \le [/mm] C$
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für die Unterstützung, die hat mir sehr weitergeholfen.
|
|
|
| |
|
> Nun gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow\pm \infty}|f'(x)|[/mm] = 0
Warum reicht denn z.z., dass der Betrag der Ableitung bei [mm]x \to \infty[/mm] gegen 0 geht, das macht [mm] -\bruch{1}{x^2} [/mm] (als Ableitung von [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] auch, aber trotzdem ist sie nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt?
lg Kai
|
|
|
| |
|
> > Nun gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow\pm \infty}|f'(x)|[/mm] = 0
>
> Warum reicht denn z.z., dass der Betrag der Ableitung bei [mm]x \to \infty[/mm]
> gegen 0 geht, das macht [mm]-\bruch{1}{x^2}[/mm] (als Ableitung von
> [mm]\bruch{1}{x})[/mm] auch, aber trotzdem ist sie nicht auf ganz
> [mm]\IR[/mm] beschränkt?
Hallo,
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] hat im Gegensatz zu der im Beispiel betrachteten Funktion f' die häßliche Eigenschaft, nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert zu sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ja... genau deswegen habe ich ja auch dieses Bsp. gewählt. Mir geht es darum, dass wenn ich diese Argumentation in der Klausur verwende, ich doch Angst haben muss, keine Punkte zu bekommen.
Müsste ich jetzt in beide Richtungen Abschätzen, um sagen zu können, dass f'(x) beschränkt ist?
|
|
|
| |
|
> Ja... genau deswegen habe ich ja auch dieses Bsp. gewählt.
> Mir geht es darum, dass wenn ich diese Argumentation in der
> Klausur verwende, ich doch Angst haben muss, keine Punkte
> zu bekommen.
>
> Müsste ich jetzt in beide Richtungen Abschätzen, um sagen
> zu können, dass f'(x) beschränkt ist?
Hallo,
ja, das hat fred ja auch getan. Er hat die Grenzwerte gegen [mm] \pm\infty [/mm] angeschaut, festgestellt: =0.
Zusammen damit, daß die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist, erhält man die Beschränktheit. Grenzwert =0 in bloß einer Richtung reicht nicht.
Oder verstehe ich die Frage falsch?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Okay, danke!
Das war schon die Frage.
lg Kai
Ps.: Vllt kannst du mir ja auch https://matheraum.de/read?i=518872 dort weiterhelfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Ja... genau deswegen habe ich ja auch dieses Bsp. gewählt.
> > Mir geht es darum, dass wenn ich diese Argumentation in der
> > Klausur verwende, ich doch Angst haben muss, keine Punkte
> > zu bekommen.
> >
> > Müsste ich jetzt in beide Richtungen Abschätzen, um sagen
> > zu können, dass f'(x) beschränkt ist?
>
> Hallo,
>
> ja, das hat fred ja auch getan. Er hat die Grenzwerte gegen
> [mm]\pm\infty[/mm] angeschaut, festgestellt: =0.
>
> Zusammen damit, daß die Funktion auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert
> ist,
und dort stetig ist
>erhält man die Beschränktheit. Grenzwert =0 in bloß
> einer Richtung reicht nicht.
>
> Oder verstehe ich die Frage falsch?
>
> Gruß v. Angela
>
>
|
|
|
|
