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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jedes Element einer gleichgradig stetigen Menge von Abbildungen $X [mm] \to [/mm] Y$ gleichmäßig stetig ist. |
Hallo,
kann es sein, dass diese Aussage falsch ist und man gleichgradig stetig durch gleichmäßig gleichgradig stetig ersetzen muss?
Also gleichgradig stetig kenne ich bisher als:
Eine Funktionenmenge $F$ von Funktionen [mm] $X\to [/mm] Y$ heißt gleichgradig stetig im Punkt [mm] x\in [/mm] X, wenn [mm] $\forall \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists \delta>0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] F \ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] X: [mm] d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon$, [/mm] wobei aus dem Kontext klar sein sollte, welche Metrik $d$ jeweils bezeichnet.
Und $F$ heißt dann gleichgradig stetig, wenn $F$ in jedem $x [mm] \in [/mm] X$ gleichgradig stetig ist.
Das impliziert natürlich auf jeden Fall die Stetigkeit aller [mm] $f\in [/mm] F$. Aber doch nicht die gleichmäßige oder?
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Hallo T_sleeper,
> Zeigen Sie, dass jedes Element einer gleichgradig stetigen
> Menge von Abbildungen [mm]X \to Y[/mm] gleichmäßig stetig ist.
> Hallo,
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> kann es sein, dass diese Aussage falsch ist und man
> gleichgradig stetig durch gleichmäßig gleichgradig stetig
> ersetzen muss?
> Also gleichgradig stetig kenne ich bisher als:
> Eine Funktionenmenge [mm]F[/mm] von Funktionen [mm]X\to Y[/mm] heißt
> gleichgradig stetig im Punkt [mm]x\in[/mm] X, wenn [mm]\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta>0 \ \forall f \in F \ \forall y \in X: d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon[/mm],
> wobei aus dem Kontext klar sein sollte, welche Metrik [mm]d[/mm]
> jeweils bezeichnet.
>
> Und [mm]F[/mm] heißt dann gleichgradig stetig, wenn [mm]F[/mm] in jedem [mm]x \in X[/mm]
> gleichgradig stetig ist.
> Das impliziert natürlich auf jeden Fall die Stetigkeit
> aller [mm]f\in F[/mm]. Aber doch nicht die gleichmäßige oder?
Ausgehend von der Definition ![[]](/images/popup.gif) hier ist es eigentlich klar:
Wenn F gleichgradig stetig ist, kannst du ein [mm] $f\in [/mm] F$ nehmen und zu [mm] \varepsilon>0 [/mm] tut's das [mm] \delta [/mm] aus der Definition der gleichgradigen Stetigkeit:
Für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] d_X(x,y)<\delta [/mm] folgt [mm] d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon.
[/mm]
LG
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> Hallo T_sleeper,
> > Zeigen Sie, dass jedes Element einer gleichgradig
> stetigen
> > Menge von Abbildungen [mm]X \to Y[/mm] gleichmäßig stetig ist.
> > Hallo,
> >
> > kann es sein, dass diese Aussage falsch ist und man
> > gleichgradig stetig durch gleichmäßig gleichgradig stetig
> > ersetzen muss?
> > Also gleichgradig stetig kenne ich bisher als:
> > Eine Funktionenmenge [mm]F[/mm] von Funktionen [mm]X\to Y[/mm] heißt
> > gleichgradig stetig im Punkt [mm]x\in[/mm] X, wenn [mm]\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta>0 \ \forall f \in F \ \forall y \in X: d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon[/mm],
> > wobei aus dem Kontext klar sein sollte, welche Metrik [mm]d[/mm]
> > jeweils bezeichnet.
> >
> > Und [mm]F[/mm] heißt dann gleichgradig stetig, wenn [mm]F[/mm] in jedem [mm]x \in X[/mm]
> > gleichgradig stetig ist.
> > Das impliziert natürlich auf jeden Fall die Stetigkeit
> > aller [mm]f\in F[/mm]. Aber doch nicht die gleichmäßige oder?
> Ausgehend von der Definition
> hier
> ist es eigentlich klar:
>
> Wenn F gleichgradig stetig ist, kannst du ein [mm]f\in F[/mm] nehmen
> und zu [mm]\varepsilon>0[/mm] tut's das [mm]\delta[/mm] aus der Definition
> der gleichgradigen Stetigkeit:
>
> Für alle [mm]x,y\in X[/mm] mit [mm]d_X(x,y)<\delta[/mm] folgt
> [mm]d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon.[/mm]
>
> LG
>
Aber hängt das [mm] $\delta$ [/mm] aus der Definition nicht vom jeweiligen Punkt $x [mm] \in [/mm] X$ ab? Das einzige was ich aus der Definition von gleichgradiger Stetigkeit lese ist, dass es so ein [mm] $\delta$ [/mm] gibt, dass nicht für jede der Funktionen aus der Funktionenfamilie die Aussage liefert, also [mm] $\delta$ [/mm] nicht mehr von $f$ abhängt. Aber gleichgradige Stetigkeit im Punkt $x$ heißt immer noch, dass das [mm] $\delta$ [/mm] von $x$ abhängt. Wenn F überall gleichgradig stetig ist, dann bekomme ich doch für jeden Punkt in $X$ auch ein anderes [mm] $\delta$ [/mm] heraus, oder nicht? Dann bringt es mir doch auch nichts einen Punkt zu fixieren.
Oder wo ist mein verdammter Denkfehler?
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Hiho,
deine Überlegungen sind richtig.
Triviales Gegenbeispiel:
Sei $F = [mm] \{f\}$ [/mm] mit f stetig, aber nicht glm stetig.
Dann ist F gleichgradig stetig, aber f ist nicht glm stetig.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> deine Überlegungen sind richtig.
> Triviales Gegenbeispiel:
>
> Sei [mm]F = \{f\}[/mm] mit f stetig, aber nicht glm stetig.
> Dann ist F gleichgradig stetig,
Hallo Gono, wie kommst Du darauf ?
Es gilt für stetiges f:
[mm]F = \{f\}[/mm] ist gleichgradig stetig [mm] \gdw [/mm] f ist glm. stetig.
Eigentlich sollte es nicht "gleichgradig stetig " heißen, sondern "gleichgradig gleichmäßig stetig " .
Ich konnte mich aber nicht durchsetzen.
FRED
> aber f ist nicht glm
> stetig.
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zeigen Sie, dass jedes Element einer gleichgradig stetigen
> Menge von Abbildungen [mm]X \to Y[/mm] gleichmäßig stetig ist.
> Hallo,
>
> kann es sein, dass diese Aussage falsch ist und man
> gleichgradig stetig durch gleichmäßig gleichgradig stetig
> ersetzen muss?
> Also gleichgradig stetig kenne ich bisher als:
> Eine Funktionenmenge [mm]F[/mm] von Funktionen [mm]X\to Y[/mm] heißt
> gleichgradig stetig im Punkt [mm]x\in[/mm] X, wenn [mm]\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta>0 \ \forall f \in F \ \forall y \in X: d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon[/mm],
Bei anderen Autoren (Rudin, Analysis, Heuser Analysis I) ist das [mm] $\delta$ [/mm] unabhängig von [mm] $f\in\cal [/mm] F$ und von $x, y$:
Zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $\delta$, [/mm] so daß für alle $x, y$ im Definitionsbereich mit [mm] $d(x,y)<\delta$ [/mm] und alle $f$ in der Familie [mm] $\cal [/mm] F$ gilt:
$d(f(x)f(y)) < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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