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| Aufgabe | | Gegeben sind die Punkte A (2;3;5), B (1;5;2) und C (3;4;3). Gesucht ist nun ein Punkt P, der zu allen Punkten denselben Abstand hat. |
Hallo Leute!
Die Aufgabe klingt eigentlich nicht so schwierig, doch es kommen Hammergleichungen raus und zudem auch keine Lösung. Könnt ihr mir helfen? Mein Ansatz war die Abstandsberechnung über den Satz des Pythagoras, aber durch die binomischen Formeln ist die Gleichung am Ende schwierig und für mich unlösbar.
Danke im Vorraus!
Melanie
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Hallo!
Diese Aufgabe ist nicht weiter aufwändig, was die Berechnung angeht, es geht erstmal um eine Lösungsstrategie.
Vereinfache das Problem mal auf ein zweidimensionales Problem:
Gegeben sind z.B. zwei Punkte A(1|0) und B(-1|0). Wie würde die Lösung dann lauten? (Durch Nachdenken und Zeichnen lösen, NICHT Rechnen!)
Dann überlege dir, wie es bei zwei Punkten im dreidimensionales aussieht: C(1|0|0) und D(-1|0|0) . (Auch nur nachdenken!)
Wie sieht die Lösung aus, wenn man den zweiten Punkt ersetzt durch E(2|0|0)? (Nachdenken!)
Wenn du nun weißt, wie die Lösung für C und D sowie C und E aussieht, kannst du dann sagen, wie eine gemeinsame Lösung aussieht?
Wenn dir das alles klar geworden ist, solltest du deine eigentliche Aufgabe lösen können (diesmal mit Rechnen)
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Danke für die Antwort!
Habe aber trotzdem Probleme bei der Aufgabe. Bei zwei Punkten ist dies ja ganz einfach. Ich berechne deren Abstand und "setze" in der Mitte dieser Strecke den gesuchten Punkt. Bei drei Punkten kann ich diesen Trick aber nicht anwenden.
Erhoffe mir nochmals Hilfe. 
Melanie
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Hallo!
> Ich berechne deren
> Abstand und "setze" in der Mitte dieser Strecke den
> gesuchten Punkt.
Das ist aber schon nicht vollkommen richtig. Der Punkt (0|0) ist sicher eine Lösung, aber was ist mit (0|1) , (0|5), (0|-12), ... ? Na, was fällt dir auf?
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Ich muss eine Gerade bestimmen, auf der alle Punkte P liegen, die denselben Abstand zu den beiden Punkten haben? Mmh... Könnte ich vielleicht eine Gerade bestimmen die zu Punkt A und B eine solche Gerade ist und dies dann auch mit Punkt B und C machen. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden sollte dann der endgültig gesuchte Punkt P sein. Aber wie bestimme ich so ne Gerade?
Melanie
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Hallo!
Ja, genau, es ist eine Grade für zwei Punkte in der Ebene! Und die Grade liegt genau in der Mitte, weiterhin steht sie senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden Punkte. Mit dieser Info kannst du nun die Gradengleichung für zwei beliebige Punkte in der Ebene aufstellen.
Das ist die Lösung für dieses Problem!
Wenn du noch einen dritten Punkt dazu nimmst, kannst du den Schnittpunkt der zwei Graden bestimmen, und der wäre dann die Lösung für das Drei-Punkt-Problem in der Ebene.
Da du nun aber in der Aufgabe in 3D arbeitest, wie sieht denn die Lösung für zwei Punkte im 3D-Raum aus?
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Ich hätte das genauso gemacht, aber das ist bestimmt falsch... Obwohl.... Die drei Punkte bilden doch auch nur ne Ebene. Kann ich dann nicht einfach meinen Lösungsweg für R2 auf R3 übertragen? Ich würde jetzt einen Vektor von A nach B aufstellen, diesen durch zwei teilen und den Ortsvektor von A mit diesem addieren. Dann habe ich einen Punkt und Punkt C. Durch diese beiden Punkte lege ich eine Gerade. Die selbe Prozedur mit den Punkten B und C, dann sollte der Schnittpunkt beider Geraden mein Endergebnis sein, oder?
Sorry, kann mir das räumlich nicht so gut vorstellen.
Melanie
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Hallo!
In 2D war die Lösung bei 2 Punkten eine Grade. Wie die konstruiert wird, hab ich ja schon geschrieben.
In 3D ist die Lösung eine Ebene bei zwei Punkten. Diese Ebene wird im Prinzip genauso konstruiert.
Bei drei Punkten hast du zwei Ebenen, deren Schnitt dann die Lösung ist. Und das ist ne Grade.
Mit anderen Worten: Du mußt zwei Ebenen bestimmen, und anschließend deren Schnittgrade!
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Aber ich brauche für eine Ebene doch immer drei Punkte. Ich kann mir doch nicht einfach einen mitten aus der Landschaft suchen, oder?
Melanie
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Hallo Melanie,
da hast Du völlig Recht, so einfach "aus der Landschaft" kannst und sollst Du nicht suchen.
Erinnere Dich mal an die Mathematik der Mittelstufe, Abteilung "Geometrie". Im Dreieck gibt es zahlreiche Punkte mit einer besonderen Bedeutung. Du brauchst hier die Information über einen Punkt, der zu allen drei Ecken den gleichen Abstand hat. Das ist (nachdenken!) der Umkreismittelpunkt.
Dieser Punkt ergibt sich als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Alle drei möglichen Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Das habt Ihr wahrscheinlich irgendwann einmal bewiesen.
Nun hast Du ein Dreieck, das irgendwo schief im Raum hängt. Durch das Dreieck ist aber eine Ebene definiert, und wenn man diese Ebene betrachtet, dann gelten immer noch alle Sätze, die Ihr in der ebenen Geometrie hattet. Insbesondere gibt es auch die Mittelsenkrechten, und natürlich auch den Schnittpunkt. Auch ein Dreieck im Raum (das automatisch immer "eben" ist!) hat einen Umkreismittelpunkt. Den musst Du finden.
Nun stell Dir vor, Du würdest den Raum einmal Raum sein lassen und Dich ganz der Ebene mit dem Dreieck zuwenden. Schau senkrecht von oben auf diese Ebene. Da liegt der Umkreismittelpunkt im Dreieck oder (wenn ein Winkel >90° ist) auch außerhalb. Wenn dieser Punkt sich nun senkrecht nach oben oder unten bewegt, dann ändert sich natürlich der Abstand von den Eckpunkten des Dreiecks. Gleichzeitig ist aber ganz anschaulich, dass der Abstand dieses Punktes, der die Dreiecksebene verlassen hat, immer noch zu allen Eckpunkten gleich ist.
Oder?
Das musst Du jetzt nur noch in Gleichungen umsetzen. Du brauchst:
- die Ebene, in der das Dreieck liegt
- ihren Normalenvektor
- in der Ebene die Mittelsenkrechten (die senkrecht zur betreffenden Seite und senkrecht zum Normalenvektor der Ebene liegen)
Dann findest Du den Schnittpunkt P (dafür genügen zwei Mittelsenkrechten, die dritte darfst Du vernachlässigen). Der geometrische Ort aller Punkte, die von den drei Ecken des Dreiecks gleich weit entfernt sind, ist nun die Gerade durch den Punkt P, die als Richtungsvektor gerade den Normalenvektor der Ebene hat.
Alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Streber123 |
Danke!
Das war ne super Erklärung! Werde damit am Dienstag meinen Mathelehrer verblüffen.
Melanie
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