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| Aufgabe | | Sei $G$ eine endliche zyklische Gruppe und $a,b$ zwei Elemente von $G$ mit derselben Ordnung. Gilt [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] b [mm] \rangle$? [/mm] |
Hallo,
die Frage hat vollgenden Hintergrund: Mein Dozent behauptet, die Aussage sei valide. Ich habe aber mit einem Programm ein Gegenbeispiel gefunden. Trotzdem ist der Dozent nicht von seiner Meinung abzubringen.
Irrt sich nun das Programm? Einen formalen Beweis davon hab ich naemlich noch nicht gesehen.
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Hallo,
Die Aussage stimmt, denn zwei Untergruppen derselben Ordnung einer zyklischen Gruppe stimmen überein. Da zwei Elemente derselben Ordnung Untergruppen mit derselben Ordnung erzeugen, folgt die Behauptung. Das sieht man so:
Zyklische Gruppen sind isomorph zu [mm] $\IZ/n\IZ [/mm] $. Allgemein sei $ U $ eine Untergruppe von $ G/N $. Es sei [mm] $G\xrightarrow [/mm] {\ \ f\ \ } G/N $ die kanonische Projektion. Dann ist $ [mm] U=f^{-1}(U)/N [/mm] $. Dies zeigt, dass Untergruppen von $ G/N $ von der Form $ H/N $ mit $ [mm] N\subseteq H\subseteq [/mm] G $ sind.
Die Untergruppen von [mm] $\IZ/n\IZ [/mm] $ sind also von der Form $ [mm] H/n\IZ [/mm] $ mit $ [mm] n\IZ\subseteq H\subseteq \IZ [/mm] $. Eine Untergruppe von [mm] $\IZ [/mm] $ ist von der Form $ [mm] k\IZ [/mm] $. Damit $ [mm] n\IZ\subseteq k\IZ [/mm] $ gilt, muss $ n $ ein Vielfaches von $ k $ sein und es gilt $ [mm] U=k\IZ/n\IZ [/mm] $. $ U $ hat dann die Ordnung $ n/k $, es gilt $ [mm] k=n/\operatorname{ord} [/mm] U$, also ist $ [mm] U=k\IZ/n\IZ=(n/\operatorname [/mm] {ord} [mm] U)\IZ/n\IZ [/mm] $ allein durch die Ordnung bestimmt.
Welches Gegenbeispiel hat denn dein Programm ausgegeben?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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