ggT zweier zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Do 02.09.2010 | | Autor: | konvex |
Hallo,
ich habe [mm] ggT(a_1,...,a_n)=1 [/mm] und [mm] ggT(b_1, ...,b_n)=1.
[/mm]
wobei die [mm] a_i,b_i [/mm] natürliche zahlen sind.
weiß jemand warum ich dann einfach schlußfolgern kann, dass
[mm] ggT(a_1,...,a_n,b_1, ...,b_n)=1 [/mm]
ist???
gibt es dazu irgendein gesetz?
|
|
| |
|
Hallo konvex,
Müßte hier nicht sogar noch die "stärkere" Aussage gelten:
[mm] $\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n\right)=1\wedge\gcd\left(b_1,\dotsc,b_m\right)\geqslant 1\Rightarrow\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n,b_1,\dotsc,b_m\right)=1$? [/mm] Meine Begründung läge in einem "naiven" Verfahren, wie man das Obige berechnen würde, und zwar durchläuft man einfach alle Elemente von [mm] $a_1$ [/mm] bis [mm] $b_m$ [/mm] (insg. [mm] $n+m\!$ [/mm] Elemente). Für jedes [mm] $z\texttt{-te}$ [/mm] Element betrachtet man die übrigen $n+m-z$ Elemente und betrachtet dadurch alle Paare, die aus den obigen Zahlen gebildet werden können. Wegen [mm] $\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n\right)=1$ [/mm] gibt es dort mindestens ein teilerfremdes Paar. D.h. selbst wenn es für alle anderen Paare größte gemeinsame Teiler größer 1 gibt, müßten diese Teiler auch Elemente dieses speziellen Paares teilen, was ja nach unserer Voraussetzung unmöglich ist. Q.E.D.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Do 02.09.2010 | | Autor: | konvex |
Ach ja logisch  . ich stand wohl auf dem schlauch....
danke dir
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Fr 03.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Karl,
> Müßte hier nicht sogar noch die "stärkere" Aussage
> gelten:
>
> [mm]\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n\right)=1\wedge\gcd\left(b_1,\dotsc,b_m\right)\geqslant 1\Rightarrow\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n,b_1,\dotsc,b_m\right)=1[/mm]?
Hier meinst du sicher [mm] $\vee$ [/mm] und nicht [mm] $\wedge$ [/mm]
> Meine Begründung läge in einem "naiven" Verfahren, wie
> man das Obige berechnen würde, und zwar durchläuft man
> einfach alle Elemente von [mm]a_1[/mm] bis [mm]b_m[/mm] (insg. [mm]n+m\![/mm]
> Elemente). Für jedes [mm]z\texttt{-te}[/mm] Element betrachtet man
> die übrigen [mm]n+m-z[/mm] Elemente und betrachtet dadurch alle
> Paare, die aus den obigen Zahlen gebildet werden können.
> Wegen [mm]\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n\right)=1[/mm] gibt es dort
> mindestens ein teilerfremdes Paar. D.h. selbst wenn es für
> alle anderen Paare größte gemeinsame Teiler größer 1
> gibt, müßten diese Teiler auch Elemente dieses speziellen
> Paares teilen, was ja nach unserer Voraussetzung unmöglich
> ist. Q.E.D.
Alternativ zwei weitere Begruendungen:
a) Wenn man etwas ueber Ideale in [mm] $\IZ$ [/mm] weiss: [mm] $ggT(a_1, \dots, a_n) [/mm] = 1$ ist aequivalent dazu, dass das von [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] erzeugte Ideal gleich [mm] $\IZ$ [/mm] selber ist. Wenn man jetzt noch mehr Elemente hinzuwirft, aendert sich nichts am erzeugten Ideal (es koennte hoechstens groesser werden, aber es ist schon maximal gross), womit ebenfalls [mm] $ggT(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n) [/mm] = 1$ ist.
b) Ganz elementar: [mm] $ggT(a_1, \dots, a_n) [/mm] = 1$ bedeutet: ist $d$ ein gemeinsamer Teiler von [mm] $a_1, \dots, a_n$, [/mm] so ist $d$ ein Teiler von 1. Ist nun $d$ ein gemeinsamer Teiler von [mm] $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$, [/mm] so auch einer von [mm] $a_1, \dots, a_n$, [/mm] und somit einer von $1$. Also muss auch [mm] $ggT(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n) [/mm] = 1$ sein.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Fr 03.09.2010 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Felix,
> Hier meinst du sicher [mm] $\vee$ [/mm] und nicht [mm] $\wedge$ [/mm]
Aber würde das nicht einen gültigen Fall zulassen, wo [mm] $\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n\right)>1\wedge\gcd\left(b_1,\dotsc,b_m\right)>1$ [/mm] ist?
Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Fr 03.09.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Karl,
> > Hier meinst du sicher [mm]\vee[/mm] und nicht [mm]\wedge[/mm]
> >
> Aber würde das nicht einen gültigen Fall zulassen, wo
> [mm]\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n\right)>1\wedge\gcd\left(b_1,\dotsc,b_m\right)>1[/mm]
> ist?
Doch, das würde es. Schlimmer noch, beide könnten z.B. a mit a>1 sein...
Du hattest schon Recht mit Deiner Formulierung.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Fr 03.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Hier meinst du sicher [mm]\vee[/mm] und nicht [mm]\wedge[/mm]
> > >
> > Aber würde das nicht einen gültigen Fall zulassen, wo
> >
> [mm]\gcd\left(a_1,\dotsc,a_n\right)>1\wedge\gcd\left(b_1,\dotsc,b_m\right)>1[/mm]
> > ist?
>
> Doch, das würde es. Schlimmer noch, beide könnten z.B. a
> mit a>1 sein...
> Du hattest schon Recht mit Deiner Formulierung.
ja, ihr habt Recht. Ich hab $=$ anstelle [mm] $\le$ [/mm] gelesen...
LG Felix
|
|
|
|
