ggT von zwei Polynomen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mi 21.05.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die beiden Polynome
[mm] $f\equiv X^5+2X^4+3X^3+3X^2+2X+1$ [/mm] und [mm] $g\equiv X^4+X^2$ [/mm] aus [mm] $\mathbb{Q}[X]$ [/mm] einen größten gemeinsamen Teiler und stellen Sie diesen durch $g$ und $g$ dar. |
Hallo zusammen,
wäre toll, wenn jemand kurz meinen Lösungsansatz kommentieren könnte.
[mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] ist ein Körper, damit ist [mm] $\mathbb{Q}[X]$ [/mm] ein euklidischer Ring. Die euklidische Normfunktion ist gegeben durch [mm] $N:f\to 2^{grad\ f}$ [/mm] für [mm] $f\neq [/mm] 0$. Mit dieser Abbildung und dem euklidischen Algorithmus zur Division mit Rest kann dann $ggT(f,g)$ bestimmt werden. Die Darstellung von $ggT(f,g)$ ergibt sich dann aus den Zwischenergebnissen des euklidischen Algorithmus.
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mi 21.05.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Bestimmen Sie für die beiden Polynome
> [mm]f\equiv X^5+2X^4+3X^3+3X^2+2X+1[/mm] und [mm]g\equiv X^4+X^2[/mm] aus
> [mm]\mathbb{Q}[X][/mm] einen größten gemeinsamen Teiler und stellen
> Sie diesen durch [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] dar.
> wäre toll, wenn jemand kurz meinen Lösungsansatz
> kommentieren könnte.
>
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist ein Körper, damit ist [mm]\mathbb{Q}[X][/mm] ein
> euklidischer Ring. Die euklidische Normfunktion ist gegeben
> durch [mm]N:f\to 2^{grad\ f}[/mm] für [mm]f\neq 0[/mm]. Mit dieser Abbildung
> und dem euklidischen Algorithmus zur Division mit Rest kann
> dann [mm]ggT(f,g)[/mm] bestimmt werden. Die Darstellung von [mm]ggT(f,g)[/mm]
> ergibt sich dann aus den Zwischenergebnissen des
> euklidischen Algorithmus.
... durch Rückwärtseinsetzen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Tadellöser & Wolff (würde Kempowski sagen)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 24.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo,
wäre wieder toll, wenn jemand meine bisherigen Lösungsschritte korrigieren könnte.
Anwendung des euklidischen Algorithmus:
[mm] $X^5+2X^4+3X^3+3X^2+2X+1= X\cdot (X^4+X^2) [/mm] + [mm] 2X^4 +2X^3 +3X^2+1$
[/mm]
[mm] $X^4+X^2= [/mm] 1/2 [mm] \dot (2X^4 +2X^3 +3X^2+1) +(-X^3 [/mm] -1/2 [mm] X^2 [/mm] -1/2)$
[mm] $2X^4 +2X^3 +3X^2+1= -2X\cdot (-X^3 [/mm] -1/2 [mm] X^2 [/mm] -1/2)+ [mm] (X^3 [/mm] -X [mm] +3X^2 [/mm] +1)$
[mm] $-X^3 [/mm] -1/2 [mm] X^2 -1/2=-1\cdot (X^3 [/mm] -X [mm] +3X^2 [/mm] +1)+(-X+5/2 [mm] X^2 [/mm] +1/2)$
[mm] $X^3 [/mm] -X [mm] +3X^2 [/mm] +1=2/5X [mm] \cdot(5/2 X^2 [/mm] -X [mm] +1/2)+(17/5X^2-6/5X+1)$
[/mm]
$5/2 [mm] X^2 [/mm] -X +1/2= 25/34 [mm] (17/5X^2-6/5X+1) [/mm] +(-32/17X-8/34)$
Ist das soweit richtig in Euren Augen?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
150/170X +25/34 -32/17X
> Bestimmen Sie für die beiden Polynome
> [mm]f\equiv X^5+2X^4+3X^3+3X^2+2X+1[/mm] und [mm]g\equiv X^4+X^2[/mm] aus
> [mm]\mathbb{Q}[X][/mm] einen größten gemeinsamen Teiler und stellen
> Sie diesen durch [mm]g[/mm] und [mm]g[/mm] dar.
> Hallo zusammen,
>
> wäre toll, wenn jemand kurz meinen Lösungsansatz
> kommentieren könnte.
>
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist ein Körper, damit ist [mm]\mathbb{Q}[X][/mm] ein
> euklidischer Ring. Die euklidische Normfunktion ist gegeben
> durch [mm]N:f\to 2^{grad\ f}[/mm] für [mm]f\neq 0[/mm]. Mit dieser Abbildung
> und dem euklidischen Algorithmus zur Division mit Rest kann
> dann [mm]ggT(f,g)[/mm] bestimmt werden. Die Darstellung von [mm]ggT(f,g)[/mm]
> ergibt sich dann aus den Zwischenergebnissen des
> euklidischen Algorithmus.
>
> Viele Grüße
> Gregor
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Hallo,
wo steht denn dein ggt? Ansonsten würde ich sagen nein, da der euklidische Algorithmus auch bei Polynomen nur dann abbricht, wenn der Rest irgendwann 0 wird. Das scheint mir bei dir aber nicht der Fall zu sein.
Der Fehler liegt m.E. bei dir schon im ersten Schritt, da bei mir die Polynomdivision zu folgendem Resultat führt:
[mm] X^5+2X^4+3X^3+3X^2+2X+1 [/mm] = [mm] (X+2)(X^4+X^2) [/mm] + [mm] 2X^3 +X^2 [/mm] + 2X +1
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 26.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Steffen,
vielen Dank für Deine Antwort. Komme irgendwie mit dem euklidischen Algo. bei Polynomen überhaupt nicht klar. Bis zum ggT bin ich noch gar nicht gekommen...
Wenn ich Deinen ersten Schritt weiterverfolge bekomme ich:
[mm] $X^5+2X^4+3X^3+3X^2+2X+1 [/mm] = [mm] (X+2)(X^4+X^2)+2X^3 +X^2+ [/mm] 2X +1$
[mm] $(X^4+X^2)=(1/2X-1/4)(2X^3 +X^2+ [/mm] 2X [mm] +1)+(5/4X^2-1/2X-1/4)$
[/mm]
[mm] $(2X^3 +X^2+ [/mm] 2X [mm] +1)=(8/5X+36/25)(5/4X^2-1/2X-1/4)+(156/50X+136/100)$
[/mm]
Ist das zumindest bis zu dieser Stelle richtig, oder übersehe ich irgendwas? Zumindest sinkt jetzt der Grad des Restpolynoms, so dass ich in den Folgeschritten den Rest eliminieren können sollte.
Viele Grüße
Gregor
> Hallo,
>
> wo steht denn dein ggt? Ansonsten würde ich sagen nein, da
> der euklidische Algorithmus auch bei Polynomen nur dann
> abbricht, wenn der Rest irgendwann 0 wird. Das scheint mir
> bei dir aber nicht der Fall zu sein.
>
> Der Fehler liegt m.E. bei dir schon im ersten Schritt, da
> bei mir die Polynomdivision zu folgendem Resultat führt:
>
> [mm]X^5+2X^4+3X^3+3X^2+2X+1[/mm] = [mm](X+2)(X^4+X^2)[/mm] + [mm]2X^3 +X^2[/mm] + 2X
> +1
>
> Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vju |
Hallo,
Ich kann deiner Rechnung nicht ganz zu stimmen. Der erste Schritt ist gut.
f = [mm] x^5 [/mm] + [mm] 2x^4 [/mm] + [mm] 3x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 2x + 1
g = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2
[/mm]
Nach der ersten Division erhält man:
[mm] x^5 [/mm] + [mm] 2x^4 [/mm] + [mm] 3x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 2x + 1 : [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] = x + 2 Rest [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x + 1
Jetzt nimmt man [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] und teilt es durch den Rest. Nach der zweiten Division erhält man:
[mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] : [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x + 1 = 1/2x - 1/4 Rest [mm] 1/4x^2 [/mm] + 1/4
In deiner Schreibweise müsste das Ergebnis also lauten:
[mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] = [mm] (2x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x + 1) (1/2x - 1/4) + [mm] 1/4x^2 [/mm] + 1/4
Hier fehlt dann noch der letzte Schritt. Bei dir ist das Ergebnis wegen den Fehler bei der 2. Rechnung folglich auch nicht richtig.
Liebe Grüße
~ Vju
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Di 27.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Vju,
vielen danke für die Korrektur, habe mittlerweile die Aufgabe gelöst.
Viele Grüße
Gregor
> Hallo,
> Ich kann deiner Rechnung nicht ganz zu stimmen. Der erste
> Schritt ist gut.
>
> f = [mm]x^5[/mm] + [mm]2x^4[/mm] + [mm]3x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] + 2x + 1
> g = [mm]x^4[/mm] + [mm]x^2[/mm]
>
> Nach der ersten Division erhält man:
> [mm]x^5[/mm] + [mm]2x^4[/mm] + [mm]3x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] + 2x + 1 : [mm]x^4[/mm] + [mm]x^2[/mm] = x + 2 Rest
> [mm]2x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x + 1
>
> Jetzt nimmt man [mm]x^4[/mm] + [mm]x^2[/mm] und teilt es durch den Rest. Nach
> der zweiten Division erhält man:
> [mm]x^4[/mm] + [mm]x^2[/mm] : [mm]2x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x + 1 = 1/2x - 1/4 Rest [mm]1/4x^2[/mm] +
> 1/4
>
> In deiner Schreibweise müsste das Ergebnis also lauten:
> [mm]x^4[/mm] + [mm]x^2[/mm] = [mm](2x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x + 1) (1/2x - 1/4) + [mm]1/4x^2[/mm] +
> 1/4
>
> Hier fehlt dann noch der letzte Schritt. Bei dir ist das
> Ergebnis wegen den Fehler bei der 2. Rechnung folglich auch
> nicht richtig.
>
> Liebe Grüße
>
> ~ Vju
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