ggT und Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mo 23.08.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Seien f:= [mm] X^3 +X^2 [/mm] + X +1 [mm] \in \IQ [/mm] [x] und g:= [mm] X^3 [/mm] +1 [mm] \in \IQ[X]
[/mm]
a) man bestimme den ggT(f,g) [mm] \subseteq \IQ[X]
[/mm]
b) es seien I:= <f,g> ideal [mm] \IQ[X] [/mm] das von f und g erzeugte Ideal von [mm] \IQ[X]. [/mm] Ist I ein Hauptideal? Gegebenenfalls gebe man einen Erzeuger an. |
Hallo zusammen,
wollte diese Aufgabe mal als Klausurvorbereitung rechnen.
Aufgabenteil a) war kein Problem, da man hier quasi nur Polynomdivision machen musste.
dann folgt: ggT(f,g)= X+1
jedoch weiß ich nicht, was ich bei aufgabe b) machen muss! kann mir da vllt jemand was zu sagen? weiß gar nicht, was hier von mir verlangt wird!
danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Mo 23.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien f:= [mm]X^3 +X^2[/mm] + X +1 [mm]\in \IQ[/mm] [x] und g:= [mm]X^3[/mm] +1 [mm]\in \IQ[X][/mm]
>
> a) man bestimme den ggT(f,g) [mm]\subseteq \IQ[X][/mm]
> b) es seien
> I:= <f,g> ideal [mm]\IQ[X][/mm] das von f und g erzeugte Ideal von
> [mm]\IQ[X].[/mm] Ist I ein Hauptideal? Gegebenenfalls gebe man einen
> Erzeuger an.
> Hallo zusammen,
>
> wollte diese Aufgabe mal als Klausurvorbereitung rechnen.
> Aufgabenteil a) war kein Problem, da man hier quasi nur
> Polynomdivision machen musste.
> dann folgt: ggT(f,g)= X+1
Gut.
Dann kannst du auch sicher $X + 1 = p [mm] \cdot [/mm] f + q [mm] \cdot [/mm] g$ mit Polynomen $p$ und $q$ schreiben.
> jedoch weiß ich nicht, was ich bei aufgabe b) machen muss!
> kann mir da vllt jemand was zu sagen? weiß gar nicht, was
> hier von mir verlangt wird!
Aus der Gleichung oben folgt doch sicher $X + 1 [mm] \in [/mm] I$ und somit [mm] $\langle [/mm] X + [mm] 1\rangle \subseteq [/mm] I$.
Gilt auch $I [mm] \subseteq \langle [/mm] X + [mm] 1\rangle$?
[/mm]
LG Felix
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