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Forum "Zahlentheorie" - ggT(a,b)=ggT(a,r)
ggT(a,b)=ggT(a,r) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ggT(a,b)=ggT(a,r): Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Mo 17.03.2014
Autor: Kartoffelchen

Aufgabe
Seien a,b natürliche Zahlen und a < b. Sei zudem r der Rest in b = a*q + r

Zeige, dass ggT(a,b) = ggT(a,r)

Hallo.

Ich wäre so vorgegangen:

(1) Es ist ggT(a,b) = ggT(a, b-a)

Wegen b = a*q + r weiterhin:

ggT(a, b-a)=ggT(a, b-a-a)=...

Führe ich diesen Schritt insgesamt q-mal aus, dann erhalte ich

ggT(a,b) = ... = ggT(a, b-q*a) = ggT(a,r).
[ denn b - q*a = a*q+r - q*a = r ]

Damit wäre die Behauptung gezeigt, wenn ich das richtig gemacht habe.

(2) Nun müsste ich noch zeigen, dass ggT(a,b) = ggT(a, b-a) gilt, also für b>a.

Wie mache ich das? =/

        
Bezug
ggT(a,b)=ggT(a,r): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:56 Di 18.03.2014
Autor: hippias


> Seien a,b natürliche Zahlen und a < b. Sei zudem r der
> Rest in b = a*q + r
>  
> Zeige, dass ggT(a,b) = ggT(a,r)
>  Hallo.
>  
> Ich wäre so vorgegangen:
>  
> (1) Es ist ggT(a,b) = ggT(a, b-a)
>  
> Wegen b = a*q + r weiterhin:
>  
> ggT(a, b-a)=ggT(a, b-a-a)=...
>  
> Führe ich diesen Schritt insgesamt q-mal aus, dann erhalte
> ich

Sauber wird es mit Induktion.

>  
> ggT(a,b) = ... = ggT(a, b-q*a) = ggT(a,r).
>  [ denn b - q*a = a*q+r - q*a = r ]
>  
> Damit wäre die Behauptung gezeigt, wenn ich das richtig
> gemacht habe.
>  
> (2) Nun müsste ich noch zeigen, dass ggT(a,b) = ggT(a,
> b-a) gilt, also für b>a.
>  
> Wie mache ich das? =/

Zeige mittels der Definition der Teilbarkeit, dass wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist, dass dann $d$ ein gemeinsamer Teiler von $a$ und $b-a$ ist und umgekehrt.

Bezug
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