gewöhnliche DGL < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
In Prüfungsprotokollen habe ich des öfteren die Frage gelesen, wie ich folgende DGL löse:
x = g(y')
wobei keine Umkehrfunktion g^-1 existiert und y(x) die gesuchte Fkt. ist.
Nun stand in manchen Protokollen:
"Ersetze y' durch p", was wohl bedeuten soll, dass man p als unabhängige Variable auffassen soll.
Mehr stand dort leider nicht.
Wer kennt dieses Verfahren (oder ein anderes um dieser DGL Herr zu werden)?
---
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Dies ist eine spezielle implizite Differentialgleichung erster Ordnung.
Man setzt $x(p)=g(p)$, und erhält $y(p)$ dann aus
$y(p) = C + [mm] \int p\dot{g}(p)\, [/mm] dp$.
Die Lösungskurve kann also sozusagen mit $y'=p$ als Parameter geschrieben werden.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
ok, habe ich soweit nachvollzogen.
Aber nun habe ich eine Funktion y(p), d.h. y(y').
Das ist doch immer noch eine Differentialgleichung und damit noch nicht gelöst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Do 08.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir haben ja die Lösungskurve parametrisiert, in der Form
(*) $p [mm] \mapsto \pmat{ x(p) = g(p) \\ y(p) = C + \int p\dot{g}(p)\, dp}$.
[/mm]
Eine explizite Lösung $y= [mm] \varphi(x)$, [/mm] so wie du sie dir vorstellst, ist nur dann möglich, wenn $p$ nach $x$ aufgelöst werden kann! Ist dies aber der Fall, so kann man aus (*) auch die explizite Lösung durch Auflösen von $p$ nach $x$ und Einsetzen in $y(p)$ erhalten.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
