gew. DGL 1.Ordnung(2.) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mi 18.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungen der DGL:
a) y' = [mm] \bruch{1+y^2}{2xy}
[/mm]
b) y' = y - [mm] \bruch{x}{y} [/mm] |
a) [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1+y^2}{2xy}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{1+y^2} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{2xy}
[/mm]
[mm] \bruch{y dy}{1+y^2} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{2x}
[/mm]
Substitution u= [mm] 1+y^2
[/mm]
u' = 2y
[mm] \bruch{1}{2u} [/mm] du = [mm] \bruch{dx}{2x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} ln(1+y^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln(x) + c
mit 2 Durchmultiplizieren:
[mm] ln(1+y^2) [/mm] = ln(x) + c*
[mm] 1+y^2 [/mm] = x + c*
y = [mm] \wurzel{x - 1 + c*}
[/mm]
Danke für die Überprüfung!
b)
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = y - [mm] \bruch{x}{y}
[/mm]
Habe ich mit y durchmultipliziert um den Nenner wegzubekommen.
[mm] \bruch{ydy}{dx} [/mm] = [mm] y^2 [/mm] - x
[mm] (y-y^2) [/mm] dy = -x dx
Hier hänge ich nun und hoffe bis hierher ist es korrekt.
Vielen Dank fürs drüber schauen!
|
|
| |
|
Hallo zocca!
> a) y' = [mm]\bruch{1+y^2}{2xy}[/mm]
>
> mit 2 Durchmultiplizieren:
>
> [mm]ln(1+y^2)[/mm] = ln(x) + c*
Bis hierher stimmt es.
> [mm] 1+y^2 [/mm] = x+c*
Und hier nicht mehr. Du musst erst die Integrationskontante [mm]c^{\star}[/mm] in den Logarithmus ziehen. Es sollte dann entstehen:
[mm]1+y^2 \ = \ c^{\star\star} \ \red{\times} \ x[/mm]
Zudem kannst Du Deine vermeintlichen Lösungen durch Ableiten und Einsetzen in die DGL selber überprüfen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
> b) y' = y - [mm]\bruch{x}{y}[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = y - [mm]\bruch{x}{y}[/mm]
>
> Habe ich mit y durchmultipliziert um den Nenner
> wegzubekommen.
>
> [mm]\bruch{ydy}{dx}[/mm] = [mm]y^2[/mm] - x
>
> [mm](y-y^2)[/mm] dy = -x dx ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Separation der Variablen klappt hier nicht. Ich würde
es mal mit der Substitution [mm] u(x):=(y(x))^2 [/mm] versuchen.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
