geschlossener Ausdruck < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:16 Di 25.08.2009 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Gegeben ist
[mm] c_n(t)=1-e^{\frac{-t}{T}}\summe_{j=0}^{n-1}\frac{1}{j!}(\frac{t}{T})^j
[/mm]
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Ich brauche einen geschlossenen Ausdruck für [mm] c_n(t).
[/mm]
Die gleiche Summe mit j von 0 bis [mm] \infty [/mm] ist ja die von der Exponentialfunktion. Mehr fällt mir dazu leider nicht ein ;)
Besten Dank im voraus für eure Antworten!
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> Gegeben ist
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> [mm]c_n(t)=1-e^{\frac{-t}{T}}\summe_{j=0}^{n-1}\frac{1}{j!}(\frac{t}{T})^j[/mm]
>
> Ich brauche einen geschlossenen Ausdruck für [mm]c_n(t).[/mm]
> Die gleiche Summe mit j von 0 bis [mm]\infty[/mm] ist ja die von
> der Exponentialfunktion. Mehr fällt mir dazu leider nicht
> ein ;)
>
> Besten Dank im voraus für eure Antworten!
Hallo bigalow,
ich bezweifle, ob dies ohne Summendarstellung
möglich ist ...
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Di 25.08.2009 | | Autor: | Sigma |
Hallo,
ein bekanntes CAS spuckt bei mir folgendes aus,
[mm] $1-\bruch{Gamma[n,\bruch{t}{T}]}{Gamma[n]}$
[/mm]
wobei Gamma die Gammafunktion ist.
gruß sigma
PS. ohne Gewähr
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> Hallo,
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> ein bekanntes CAS spuckt bei mir folgendes aus,
>
> [mm]1-\bruch{Gamma[n,\bruch{t}{T}]}{Gamma[n]}[/mm]
>
> wobei Gamma die Gammafunktion ist.
>
> gruß sigma
>
> PS. ohne Gewähr
Sehr schön !
Ich habe das gerade auch ausprobiert, wahrscheinlich
mit dem gleichen bekannten CAS wie du.
... nur muss man dabei bedenken, dass die Gamma-
funktion konkret nur als uneigentliches Integral oder
z.B. als ein unendliches Produkt fassbar ist ...
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Di 25.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ... nur muss man dabei bedenken, dass die Gamma-
> funktion konkret nur als uneigentliches Integral oder
> z.B. als ein unendliches Produkt fassbar ist ...
Naja, mit dem gleichen Argument muss man bedenken, dass die Exponentialfunktion nur als unendliche Summe oder als Grenzwert einer Folge fassbar ist.
So wie man die Exponentialfunktion als Verallgemeinerung der Potenz mit ganzzahligen Exponenten auffassen kann, kann man die Gammafunktion als Verallgemeinerung der Fakultät auf bliebige reelle oder komplexe Argumente betrachten.
Nur sind wir die e-Funktion gewöhnt, die Gammafunktion weniger.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
>
> > ... nur muss man dabei bedenken, dass die Gamma-
> > funktion konkret nur als uneigentliches Integral oder
> > z.B. als ein unendliches Produkt fassbar ist ...
>
> Naja, mit dem gleichen Argument muss man bedenken, dass die
> Exponentialfunktion nur als unendliche Summe oder als
> Grenzwert einer Folge fassbar ist.
Noch viel schlimmer: das fängt ja schon bei den
Quadratwurzeln an oder sogar bei Dezimaldarstellungen
für rationale Zahlen wie [mm] \frac{1}{3} [/mm] oder [mm] \frac{5}{7} [/mm] ... 
> So wie man die Exponentialfunktion als Verallgemeinerung
> der Potenz mit ganzzahligen Exponenten auffassen kann, kann
> man die Gammafunktion als Verallgemeinerung der Fakultät
> auf beliebige reelle oder komplexe Argumente betrachten.
... nicht so ganz beliebige ...
> Nur sind wir die e-Funktion gewöhnt, die Gammafunktion
> weniger.
Schon klar.
Allerdings könnte man dann auch noch für sehr viele
weitere Funktionen, die nicht durch die gängigen
Standardfunktionen darstellbar sind, "geschlossene"
Ausdrücke erfinden. Eigentlich müsste man wohl
sagen, dass der Ausdruck "geschlossener Ausdruck"
nicht klar definiert oder nicht einmal definierbar ist !
Gruß und gute Nacht ! Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:33 Mi 26.08.2009 | | Autor: | cycore |
ich frage mich wieso eure cas das so stehen lassen...
das was da am ende nämlich rauskommt hat sogar einen eigenen namen^^
für die lower gammafkt. gilt nämlich (für [mm] n\in\IN)
[/mm]
[mm] \gamma(n,a)=\Gamma(n)(1-e^{-a}e_{n-1}(a)) \gdw 1-e^{-a}e_{n-1}(a)=\bruch{\gamma(n,a)}{\Gamma(n)}=:P(n,a)
[/mm]
Wobei P(n,a) als regularized lower gammafkt. bezeichnet wird.
insbesondere ist nun für a=t/T also [mm] c_n(t)=P(n,\bruch{t}{T})...
[/mm]
Danke für den Tipp - habs geändert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:28 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo cycore!
Schreibe für das große Gamma mit großem "G":
"\Gamma" ergibt dann [mm] $\Gamma$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:58 Mi 26.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben ist
>
> [mm]c_n(t)=1-e^{\frac{-t}{T}}\summe_{j=0}^{n-1}\frac{1}{j!}(\frac{t}{T})^j[/mm]
>
> Ich brauche einen geschlossenen Ausdruck für [mm]c_n(t).[/mm]
> Die gleiche Summe mit j von 0 bis [mm]\infty[/mm] ist ja die von
> der Exponentialfunktion. Mehr fällt mir dazu leider nicht
> ein ;)
In Anbetracht der Diskussion: wozu brauchst du das? Dann koennen wir dir vermutlich eher weiterhelfen...
LG Felix
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