geschlossene Darstellung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Do 07.01.2016 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | [mm] B=\pmat{ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }
[/mm]
mit [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Gebe eine geschlossene Darstellung [mm] B^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] an und beiwese dann per vollst. Induktion. |
Moin moin zusammen,
mein Problem bei dieser Aufgabe hängt damit zusammen, dass ich nicht genau weiß wie man die Matrix in die geschlossene Darstellung bringt.
Die Aufgabe steht unter dem Punkt Determinante, wobei ich nicht wirklich weiß ob mich das weiterbringt. Über Tipps und Denkanstöße würde ich mich freuen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Do 07.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> [mm]B=\pmat{ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
>
> mit [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> Gebe eine geschlossene Darstellung [mm]B^{n},[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] an und
> beiwese dann per vollst. Induktion.
> Moin moin zusammen,
>
> mein Problem bei dieser Aufgabe hängt damit zusammen, dass
> ich nicht genau weiß wie man die Matrix in die
> geschlossene Darstellung bringt.
>
> Die Aufgabe steht unter dem Punkt Determinante, wobei ich
> nicht wirklich weiß ob mich das weiterbringt. Über Tipps
> und Denkanstöße würde ich mich freuen.
Berechne mal [mm] B^2, B^3, [/mm] ...
Dann bekommst Du vielleicht eine Vermutung.
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Do 07.01.2016 | | Autor: | Skyrula |
So, ich habe mich durch die Vorlesungen gekämpft und sitze jetzt wieder an den Aufgaben.
Also wenn B= [mm] B=\pmat{ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda } [/mm] ist, folg für [mm] B^2= \pmat{ \lambda^2 & 2\lambda & 1 \\ 0 & \lambda^2 & 2\lambda \\ 0 & 0 & \lambda^2 } [/mm] und für [mm] B^3=\pmat{ \lambda^3 & 3\lambda^2 & 3\lambda \\ 0 & \lambda^3 & 3\lambda^2 \\ 0 & 0 & \lambda^3 }
[/mm]
richtig?
Daraus hoffe ich richtig ableiten zu können das sich [mm] B^n [/mm] mit n [mm] \in [/mm] IN folgendermaßen darstellen lässt
[mm] B^n=\pmat{ \lambda^n & n\lambda^{n-1} & n\lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n }
[/mm]
Der Tipp von dir war sehr hilfreich, vielen Dank. Hoffe meine Aufgabe ist bis hierhin korrekt?
Falls ja muss ich im nächsten Schritt nun meine Matrix für [mm] B^n [/mm] durch vollständige Induktion beweisen.
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Hallo,
> So, ich habe mich durch die Vorlesungen gekämpft und sitze
> jetzt wieder an den Aufgaben.
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> Also wenn B= [mm]B=\pmat{ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
> ist, folg für [mm]B^2= \pmat{ \lambda^2 & 2\lambda & 1 \\ 0 & \lambda^2 & 2\lambda \\ 0 & 0 & \lambda^2 }[/mm]
> und für [mm]B^3=\pmat{ \lambda^3 & 3\lambda^2 & 3\lambda \\ 0 & \lambda^3 & 3\lambda^2 \\ 0 & 0 & \lambda^3 }[/mm]
>
> richtig?
ja, richtig.
>
> Daraus hoffe ich richtig ableiten zu können das sich [mm]B^n[/mm]
> mit n [mm]\in[/mm] IN folgendermaßen darstellen lässt
> [mm]B^n=\pmat{ \lambda^n & n\lambda^{n-1} & n\lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n }[/mm]
Nein, das erkennst du doch bereits am Element [mm] $b_{13}$
[/mm]
In der Matrix [mm] $B^2$ [/mm] lautet es 1.
In deiner *geschlossenen* Darstellung allerdings 2, da $2 [mm] \cdot \lambda^{2-2} [/mm] = 2$
>
> Der Tipp von dir war sehr hilfreich, vielen Dank. Hoffe
> meine Aufgabe ist bis hierhin korrekt?
>
> Falls ja muss ich im nächsten Schritt nun meine Matrix
> für [mm]B^n[/mm] durch vollständige Induktion beweisen.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Do 07.01.2016 | | Autor: | Skyrula |
Ah, danke jetzt sehe ich es auch. Es sollte natürlich lauten:
[mm] B^n=B^n=\pmat{ \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n }
[/mm]
jetzt stimmt es oder?
Wie gehe ich nun am besten an die vollständige Induktion ran? Hab das noch nie auf eine Matrix angewendet.
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> Ah, danke jetzt sehe ich es auch. Es sollte natürlich
> lauten:
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> [mm]B^n=B^n=\pmat{ \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n }[/mm]
>
> jetzt stimmt es oder?
Ja genau.
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> Wie gehe ich nun am besten an die vollständige Induktion
> ran? Hab das noch nie auf eine Matrix angewendet.
Genau wie sonst auch ;) das Prinzip ändert sich nicht.
Leg mal los.
lg
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