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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
f(x) 0 für -pi <= x < - pi/2 und pi/2 < x <= pi
pi/2 - |x| für -pi/2 <= x < pi /2
f(x)= f(x+2pi) |
Guten Morgen,
hab als erstes mal mir die Funktion aufgezeichnet.
Sie ist gerade, deshalb ist [mm] b_n [/mm] = 0
Meine Überlegung war, zur Berechnung von [mm] a_n [/mm] einfach 2 mal das Integral auf der postiven x Achse zu nehmen weil ich damit den unangenehmen Betrag erledige.
für [mm] a_0 [/mm] bekomme ich dann
[mm] a_0 [/mm] = 2/pi * [mm] \integral_{0}^{\frac{pi}{2}} \frac{pi}{2}-x \, [/mm] dx
= [mm] \frac{pi}{2}* [/mm] | [mm] \frac{pi*x}{2}-\frac{1}{2}*x^2 [/mm] |
Eingesetzt bekomme ich [mm] a_0 [/mm] = 0.78
[mm] a_n [/mm] = 2 [mm] *\frac{2}{2*pi}*\integral_{0}^{\frac{pi}{2}}( \frac{pi}{2}-x)*sin(kx)) \, [/mm] dx
Für den 2. Teil habe ich die partielle Integration verwendet und bekomme schließlich als Stammfunktion in den Grenzen von 0 bis pi/2
[mm] a_n [/mm] = 2 * [mm] \frac{2}{2*pi} [/mm] * |- [mm] \frac{pi}{2*n}*cos (n*x)+x*\frac{1}{n}*cos(n*x)- \frac{1}{k^2}*sin(n*x)|
[/mm]
Hoffe bis dahin stimmt alles, und es ist nachvollziehbar.
Habe jetzt das Problem, dass ich nicht weiss wie ich es zusammenfassen soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Traumfabrik,
Deine Argumentation zur geraden Funktion ist okay so, allerdings hast Du dann bei der Bestimmung der allgemeinen Koeffizienten mit der Sinusfnktion weitergearbeitet, was beim besten Willen nicht sein kann. Dies ist eine ungerade Funktion und liefert demzufolge keinen Anteil zur Beschreibung einer geraden Funktion wie Du sie hast.
Richtig müsste es heissen:
[mm] a_n = \bruch{2}{\pi} \int_0^{\bruch{\pi}{2}} (\bruch{\pi}{2}} -x)(\cos nx) \, dx [/mm]
Dieses Integral musst Du bestimmen in den vorgegebenen Grenzen und achte dabei auf die Indizes; k und n gingen bei Dir durcheinander, bleibe einfach bei n, es gibt nur eine Laufvariable.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok vielen dank, hab mich vermutlich einfach in der FS verschaut.
ich bekomme dann mit der gleichen Vorgehensweise
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{2}{pi}* |\frac{pi}{2n}*sin(n*x) [/mm] - [mm] x*\frac{1}{n}*sin(n*x)+\frac{1}{n^2}*cos(n*x)| [/mm] in den Grenzen 0 bis pi/2
WIe kann ich das umformen falls es stimmt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mi 26.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok vielen dank, hab mich vermutlich einfach in der FS
> verschaut.
>
> ich bekomme dann mit der gleichen Vorgehensweise
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{2}{pi}* |\frac{pi}{2n}*sin(n*x)[/mm] -
> [mm]x*\frac{1}{n}*sin(n*x)+\frac{1}{n^2}*cos(n*x)|[/mm] in den
> Grenzen 0 bis pi/2
>
> WIe kann ich das umformen falls es stimmt ?
Wie wärs mit Einsetzen der Integrationsgrenzen ????
FRED
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Ja,
hab es mal eingestzt und bekomme
[mm] a_n [/mm] = 2/pi * ( [mm] \frac{pi}{2n}*sin(\frac{pi}{2}*n)-\frac{pi}{2}*\frac{1}{n}*sin\frac{pi}{2}*x)+\frac{1}{n^2}*cos(\frac{pi}{2}*n)-\frac{1}{n^2})
[/mm]
Wie ich jetzt allerdings die WInkelfunktionen vereinfache weiss ich nicht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe nichts nachgerechnet, aber helfen sollte sowas wie:
[mm] $$\sin(n*\pi)=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$\sin(\pi/2+n*\pi)=(-1)^n\,,$$
[/mm]
[mm] $$\cos(n*\pi)=(-1)^n\,,$$
[/mm]
[mm] $$\cos(\pi/2+n*\pi)=0$$
[/mm]
für $n [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
P.S.: Erklärbar etwa mit dem Wissen: [mm] $\sin(\pi)=\sin(2\pi)=0\,,$ [/mm]
[mm] $\cos(0)=1=\,-\,\cos(\pi)\,,$ $\sin(\pi/2)=1=-\sin(-\pi/2)\,,$ $\cos(\pi/2)=\cos(-\pi/2)=0\,$ [/mm]
und den Additionstheoremen (man kann auch die [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm]
benützen, aber auch die kann man mit den Additionstheoremen herleiten:
[mm] $$\sin(x+2\pi)=\sin(x) \cos(2\pi)+\cos(x)\sin(2\pi)=\sin(x)*1+\cos(x)*0=\sin(x)\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $\sin$ [/mm] sicher [mm] $2\pi$-periodisch...).
[/mm]
Geometrisch leicht auch anschaulich herleitbar, wenn man weiß, wie man
den Sinus/Kosinus am Einheitskreis wiederfindet!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Ohne was nachgerechnet zu haben:
> Ja,
>
> hab es mal eingestzt und bekomme
>
> [mm]a_n[/mm] = 2/pi * (
> [mm]\frac{pi}{2n}*sin(\frac{pi}{2}*n)-\frac{pi}{2}*\frac{1}{n}*sin\frac{pi}{2}*\red{\textbf{x}})+\frac{1}{n^2}*cos(\frac{pi}{2}*n)-\frac{1}{n^2})[/mm]
das von mir rotmarkierte [mm] $x\,$ [/mm] glaube ich Dir nicht!
Zudem: Anstatt
$$pi$$
schreibe
[mm] $$\pi$$
[/mm]
[mm] ([nomm]$\pi$[/nomm])
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ja das stimmt, das markierte x ist falsch und zuviel.
Deine vorgeschlagenen Umformungen kann ich nachvollziehen, sehe aber nicht wie ich sie bei dieser Aufgabe anwenden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja das stimmt, das markierte x ist falsch und zuviel.
>
> Deine vorgeschlagenen Umformungen kann ich nachvollziehen,
> sehe aber nicht wie ich sie bei dieser Aufgabe anwenden
> kann?
warum nicht?
Du brauchst doch nur die [mm] $n*\pi/2$ [/mm] entsprechend anzugeben:
Und es gibt zwei Fälle für $n [mm] \in \IN_0:$ [/mm] Entweder ist $n=g [mm] \in 2\IN_0$ [/mm]
eine gerade Zahl, oder es ist $n=u [mm] \in \IN \setminus (2\IN_0)$ [/mm] eine
ungerade Zahl.
Falls [mm] $n=g\,$ [/mm] gerade ist, dann ist [mm] $n=g=2k\,$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] und
dann ist [mm] $n*\pi/2=g*\pi/2=2k*\pi/2=k*\pi\,.$
[/mm]
Falls [mm] $n=u\,$ [/mm] ungerade ist, dann ist [mm] $n=u=2\ell+1$ [/mm] mit einem [mm] $\ell \in \IN_0$
[/mm]
und dann ist [mm] $n*\pi/2=u*\pi/2=(2\ell+1)*\pi/2=\pi/2+\ell*\pi\,.$
[/mm]
Somit kann man etwa erkennen:
[mm] $$\sin(n*\pi/2)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ {(-1)}^{(n-1)/2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Und analoges kannst Du Dir für [mm] $\cos(n*\pi/2)$ [/mm] herleiten, oder aber Du
benutzt obiges sowie etwa die "Tatsachen" (herleitbar mit
Additionstheoremen)
[mm] $$\cos(x)=\sin(\pi/2-x)\,$$
[/mm]
und
[mm] $$\sin(-x)=-\sin(x)\,.$$
[/mm]
P.S. Ich verstehe nicht, wieso, selbst, wenn Du Dir das ganze nicht formal
erklären kannst, Du Dir nicht einfach mal den Einheitskreis aufmalst,
nochmal überlegst, wo man dort den Sinus bzw. Kosinus wiederfindet und
was die Winkel im Bogenmaß bedeuten.
Denn ohne irgendwas sonst zu wissen, "sieht man" dann sofort [mm] ($0\,$° [/mm]
entspricht einem Winkel in Bogenmaß von [mm] $0\,,$ $90\,$° [/mm] eben [mm] $\pi/2\,,$
[/mm]
[mm] $180\,$° [/mm] eben [mm] $\pi$ [/mm] etc. pp.: [mm] $\alpha/180^\text{o}=w/\pi\,,$ [/mm] wenn [mm] $w\,$ [/mm] der Winkel im Bogenmaß und [mm] $\alpha$ [/mm] der
im Gradmaß ist):
[mm] $$\blue{\sin(0)=\sin(0^\text{o})=0 \text{ und }\cos(0)=\cos(0^\text{o})=1}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\red{\sin(\pi/2)=\sin(90^\text{o})=1 \text{ und }\cos(\pi/2)=\cos(90^\text{o})=0}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\sin(\pi)=\sin(180^\text{o})=0 \text{ und }\cos(\pi)=\cos(180^\text{o})=\,-\,1\,,$$
[/mm]
[mm] $$\sin(3/2\pi)=\sin(270^\text{o})=\,-\,1 \text{ und }\cos(3/2\pi)=\cos(270^\text{o})=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$\blue{\sin(2\pi)=\sin(360^\text{o})=0 \text{ und }\cos(2\pi)=\cos(360^\text{o})=1}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\red{\sin(5/2\pi)=\sin(450^\text{o})=0 \text{ und }\cos(5/2\pi)=\cos(450^\text{o})=0}\,,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
(Die farbig markierten Zeilen deuten nochmal die [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] des
Sinus und Kosinus an!)
Gruß,
Marcel
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Mein Problem waren nicht die Werte fuer die Winkel sondern das weitere Vorgehen.
In dem Fall anscheinend Fallunterscheidung:
ich habe das mal versucht und bekomme
für n gerade und k=2n : [mm] \frac{2}{pi }(-1)^k*\frac{1}{n^2}
[/mm]
für n ungerade :0
Stimmt das bis dahin und wie mache ich weiter ? (versuch wirklich mein bestes :( )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Do 27.12.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Traumfabrik,
was Du da hingeschrieben hast, kann so nicht stimmen, denn die Kurve besitzt ja einen Gleichanteil, da sie nicht symmetrisch zur x-Achse ist. Der findet sich jedoch nicht in Deiner Darstellung und ob das k und das n sich auf Deine ursprüngliche Nomenklatur beziehen oder auf die von Marcel wird auch nicht klar. Mir ist schon klar, dass diese Fallunterscheidungen nicht immer schön darzustellen sind, aber dabei muss man mit den Laufindizes höllisch aufpassen.
Mitunter ist es einfacher, den Index durch alle natürlichen Zahlen durchlaufen zu lassen und dabei nimmt man es dann in Kauf, dass hierbei dann Koeffizienten auftreten, die nun mal den Wert Null ergeben. So eine Darstellung ist möglich auch bei Deiner Kurve, wenn man eben keine Fallunterscheidung macht, sondern einen "Null-Term" in der Darstellung der Fourierreihe in Kauf nimmt.
Ich stelle hier mal so ein Ergebnis ein, diesmal mit einer Laufvariablen m, die hatten wir, so hoffe ich doch sehr, noch nicht verbraten.
Dann kommt auf den oben angesprochenen Gleichanteil und Cosinuskoeffizienten, die aber teilweise eine Null ergeben, wenn man den entsprechenden Wert für m einsetzt.
So komme ich auf
[mm]f(x) = \bruch{\pi}{4} + \bruch{4}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \bruch{1-\cos (m \bruch{\pi}{2})}{m^2} \cos (mx) [/mm]
Checke dock Deine Koefizienten mal gegen diesen Ausdruck.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok, noch gebe ich nicht auf, also alles Schritt für Schritt:
[mm] a_n [/mm] = 2/pi * ( [mm] \frac{pi}{2n}*sin(\frac{pi}{2}*n)-\frac{pi}{2}*\frac{1}{n}*sin\frac{pi}{2})+\frac{1}{n^2}*cos(\frac{pi}{2}*n)-\frac{1}{n^2}) [/mm]
Das sollte ja stimmen.
jetzt für gerade n : bekomme ich in der Klammer : 0-0+ [mm] \frac{1}{n^2}*(-1)^{\frac{n}{2}}-(\frac{1}{n^2})
[/mm]
für ungerade n : kürzen sich die ersten beide Sinusterme ja weg und der cosinusterm wird 0 , deshalb bleibt nur [mm] -(\frac{1}{n^2}) [/mm] in der Klammer stehen
Stimmt das bis dahin ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Do 27.12.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
da ich auf die Koeffzienten nicht kam, habe ich nochmal das Stammintegral berechnet und meines Erachtens muss ein Minusvorzeichen vor den Cosinus.
Also
[mm] \bruch{2}{\pi} } \int (\bruch{\pi}{2} -x) \cos kx \, dx = \bruch{2}{\pi} \left[ \bruch{k(\pi-2x) \cdot \sin kx - 2 \cos kx}{2k^2} \right] [/mm]
Damit ändern sich dann auch die Terme nach dem Einsetzen der Grenzen und ich lande dann bei
[mm] \bruch{1-\cos (k \bruch{\pi}{2})}{k^2} [/mm]
VG,
Infinit
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Tut mir leid aber sehe keinen Zusammenhang zu meiner Lösung.
Was ist an meiner denn falsch bzw , hast du einen Zwischenschritt bevor der fertigen Umformung ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
wenn das Vorzeichen eines Terms im Stammintegral verkehrt ist, wie kann dann das Ergebnis nach dem Einsetzen der Grenzen stimmen? Daher meine Bitte, Du mögest nochmal Deine Rechnung überprüfen.
VG,
Infinit
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