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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:54 So 13.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | a) Verwenden Sie die Summenformel der geometrischen Reihe,
um die reellen Zahlen
x = [mm] 3,70\overline{471}, [/mm] und x = [mm] 1,2\overline{481},
[/mm]
als Bruch darzustellen.
b) Zeigen Sie: Aus [mm] a_{n} [/mm] > 0 folgt, dass die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}} [/mm] konvergiert. |
Hallo,
zu b) habe ich leider keinen Ansatz. eine reihe konvergiert ja , wenn sie beschränkt ist. reicht es da wenn ich die schranken herausfinde? wenn nicht wie mache ich das dann?
a)
[mm] \summe_{i=0}^{n} p^{i}=p^{0}+p^{1}+p^{2}....
[/mm]
wo setze ich die beiden werte ein?
LG Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 So 13.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielleicht hilft dir folgendes weiter:
a)
für |p|<1 gilt.
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} p^{i}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n} p^{i}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-p^{n+1}}{1-p}=\bruch{1}{1-p}.
[/mm]
b)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}} [/mm]
Ich hätte mit dem Majorantenkriterium argumentiert:
Wir wissen, [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert.
[mm] \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}}\le{\bruch{a_{n}}{n^{2}a_{n}}}=\bruch{a_n}{a_n}*\bruch{1}{n^{2}}=\bruch{1}{n^{2}}.
[/mm]
Nach Majorantenkriterium konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}} [/mm] .
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
Danke für deine Antwort, hat mir sehr geholfen.
LG Toni
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